[数论]Gcd/ExGcd欧几里得学习笔记

(Q):什么是(GCD)?

• (GCD)

(GCD)，即最大公约数（(Greatest Common Divisor)）

对于两个自然数(a,b)，定义(GCD(a,b))为(a,b)所有公共约数中最大的一个，即(GCD(a,b)=max{xin N^*,x|a)且(x|b})

然后是关于(GCD)的算法即其扩展

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(Part1) 欧几里得算法

(Q):这个算法有什么用？

此算法可以在(log)级别里求出两个数(a,b)的(GCD)

• 欧几里得算法

对于(a,b)，设它们的(GCD)为(d)。

则有：(d|a)且(d|b)

设(a=k*{}b+r(k=leftlfloorfrac{a}{b} ight floor,r=amod b))

则：(d|(a-k*{}b))，即(d|r)

所以(GCD(a,b)=GCD(b,r)=GCD(b,amod b))

最后递归求解，可在(O(log_2a))内得解。

时间复杂度 (O(log_2a))

空间复杂度 (O(log_2a))(递归栈)

实际复杂度一般到不了此上界。

代码：

//求GCD(a,b)
#include <cstdio>

int GCD(int a,int b)
{
    return b?GCD(b,a%b):a;
    //当b为0时，GCD(a,0)=a，充当递归边界。
}

int main()
{
    int a,b;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    printf("%d
",GCD(a,b));
    return 0;
}

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(Part2) 扩展欧几里得

(Q):这个奇怪的算法又是什么啊？

首先，先来看一个不定方程：

[ax+by=c ]

扩展欧几里得就是用来求此方程的不定解((x,y))的。

准备知识：

• (Bezout)定理

对于两个整数(a,b)存在一对整数(x,y)，满足(ax+by=GCD(a,b))

证明：

在调用欧几里得算法时，当(b=0)，显然有(x=1,y=0)满足定理。

当(b ot= 0)时，若已经求得，(x,y)，使得

[bx+(amod b)y=GCD(b,amod b) ]

则

[bx+(a-bleftlfloorfrac{a}{b} ight floor)y=GCD(b,amod b) ]

[ay+b(x-leftlfloorfrac{a}{b} ight floor y)=GCD(b,amod b) ]

设(x'=y,y'=x-leftlfloorfrac{a}{b} ight floor y)，则有

[ax'+by'=GCD(b,amod b)=GCD(a,b) ]

利用数学归纳法，知道(Bezout)成立。

同时，我们可以利用此定理求出一组(ax+by=GCD(a,b))的解。

时间复杂度 (O(log_2a))

空间复杂度 (O(log_2a))

代码：

//求x,y使得ax+by=GCD(a,b)，同时得到GCD(a,b)
#include <cstdio>

int ExGCD(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b){x=1,y=0;return a;}//递归边界
    int GCD=ExGCD(b,a%b,x,y);
    int Tmp=x;
    x=y,y=Tmp-a/b*y;
    return GCD;
}

int main()
{
    int a,b,GCD,x,y;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    GCD=ExGCD(a,b,x,y);
    printf("%d %d %d
",GCD,x,y);
    return 0;
}

接着回到正题：对于方程(ax+by=c)，它有解仅当(GCD(a,b)|c)。

证明？不会，记住就行，毕竟显然。

接着，求出方程(ax+by=GCD(a,b))的一组解，则：

[ax+by=GCD(a,b) ]

[frac{c}{GCD(a,b)}*{}(ax+by)=c ]

[a*frac{cx}{GCD(a,b)}+b*frac{cy}{GCD(a,b)}=c ]

于是就有了一组解：(x'=frac{cx}{GCD(a,b)},y'=frac{cy}{GCD(a,b)})(对(x,y)同时乘上(frac{c}{GCD(a,b)}))

于是问题得解。

时间复杂度 (O(log_2a))

空间复杂度 (O(log_2a))

代码：

//求x,y使得ax+by=c，同时得到GCD(a,b)
#include <cstdio>

int ExGCD(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b){x=1,y=0;return a;}//递归边界
    int GCD=ExGCD(b,a%b,x,y);
    int Tmp=x;
    x=y;
    y=Tmp-a/b*y;
    return GCD;
}

int main()
{
    int a,b,c,GCD,x,y;
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
    GCD=ExGCD(a,b,x,y);
    if(c%GCD)return puts("Orz I cannot find it!"),0;//无解
    int d=c/GCD;
    printf("%d %d %d
",GCD,x*d,y*d);
    return 0;
}

关于通解以及(x)最小正整数解。

设(d=GCD(a,b))，

(x_0,y_0)为(ax+by=GCD(a,b))的一组特解，

(x=x_0+km,y=y_0+kn(kin mathbb{Z}))为方程的通解表示（k为任意整数），

则：

[ax+by=ax_0+by_0 ]

[a(x_0+km)+b(y_0+kn)=ax_0+by_0 ]

[am+bn=0 ]

显然，当(m=-b,n=a)时等式成立。

又因为要把(m,n)比例降到最小，所以同时除去(GCD)。

最后的通解表示为：

[x=x_0-kfrac{b}{d},y=y_0+kfrac{a}{d}(kin mathbb{Z}) ]

同理，对于方程(ax+by=c)的通解为：

[x=frac{c}{d}x_0-kfrac{b}{d},y=frac{c}{d}y_0+kfrac{a}{d}(kin mathbb{Z}) ]

所以求(x)的最小整数解只需要将(xmod frac{b}{d})再推出(y)即可。

时间复杂度 (O(log_2a))

空间复杂度 (O(log_2a))

代码：

//求ax+by=c的x最小正整数解。
#include <cstdio>

int ExGCD(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b){x=1,y=0;return a;}//递归边界
    int GCD=ExGCD(b,a%b,x,y);
    int Tmp=x;
    x=y;
    y=Tmp-a/b*y;
    return GCD;
}

int main()
{
    int a,b,c,d,x,y;
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
    d=ExGCD(a,b,x,y);
    if(c%d)return puts("Orz I cannot find it!"),0;//无解
    x*=c/d,y*=c/d;
    int f=b/d;
    x=(x%f+f)%f;
    y=(c-a*x)/b;
    printf("%d %d
",x,y);//x最小正整数解。
    return 0;
}

所有性质证明到此结束。

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欧几里得是个好东西，然而我不会用。

数论博大精深，不能就此止步，还要继续探索。

祝自己(++OI::RP)