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Ranking 是信息检索领域的基本问题，也是搜索引擎背后的重要组成模块。
本文将对结合机器学习的 ranking 技术——learning2rank——做个系统整理，包括 pointwise、pairwise、listwise 三大类型，它们的经典模型，解决了什么问题，仍存在什么缺陷。
Pointwise 类方法，其 L2R 框架具有以下特征：
- 输入空间中样本是单个 doc（和对应 query）构成的特征向量；
- 输出空间中样本是单个 doc（和对应 query）的相关度；
- 假设空间中样本是打分函数；
- 损失函数评估单个 doc 的预测得分和真实得分之间差异。
Pairwise 类方法，其 L2R 框架具有以下特征：
- 输入空间中样本是（同一 query 对应的）两个 doc（和对应 query）构成的两个特征向量；
- 输出空间中样本是 pairwise preference；
- 假设空间中样本是二变量函数；
- 损失函数评估 doc pair 的预测 preference 和真实 preference 之间差异。
Listwise 类方法，其 L2R 框架具有以下特征：
- 输入空间中样本是（同一 query 对应的）所有 doc（与对应的 query）构成的多个特征向量（列表）；
- 输出空间中样本是这些 doc（和对应 query）的相关度排序列表或者排列；
- 假设空间中样本是多变量函数，对于 docs 得到其排列，实践中，通常是一个打分函数，根据打分函数对所有 docs 的打分进行排序得到 docs 相关度的排列；
- 损失函数分成两类，一类是直接和评价指标相关的，还有一类不是直接相关的。具体后面介绍。
本文主要参考刘铁岩老师的《Learning to Rank for Information Retrieval》和李航老师的《Learning to rank for information retrieval and natural language processing》。
1、概述
1.1 Ranking
Ranking 模型可以粗略分为基于相关度和基于重要性进行排序的两大类。
- 基于相关度的模型，通常利用 query 和 doc 之间的词共现特性（如布尔模型）、VSM向量空间模型（如 TFIDF、LSI 等）、概率排序思想（BM25、LMIR 等）等方式。
- 基于重要性的模型，利用的是 doc 本身的重要性，如 PageRank、TrustRank 等。
这里我们关注基于相关度的 ranking。
相关度的标注
最流行也相对好实现的一样方式时，人工标注 MOS，即相关度等级。
其次是，人工标注 pairwise preference，即一个 doc 是否相对另一个 doc 与该 query 更相关。
最 costly 的方式是，人工标注 docs 与 query 的整体相关度排序。
评估指标
即评估 query 与 docs 之间的真实排序与预测排序的差异。
大部分评估指标都是针对每组 query-docs 进行定义，然后再在所有组上进行平均。常用的基于度量的 ranking 错误率如下
MAP
首先，suppose we have binary judgment for the documents, i.e., the label is one for relevant documents and zero for irrelevant documents，定义docs 排序列表 π 中位置 k 的 precision 为
其次，令 m 为该 query 对应的 docs 数量，m_1 为该 query 对应的标签为1的 docs 数量，则有 average precision（AP）为
最后，对所有 query 求得 AP 进行平均，即得到 MAP。
NDCG
首先，Discounted cumulative gain （DCG）考量了 relevance judgment in terms of multiple ordered categories，以及对位置信息进行了折扣考量。定义 docs 排序列表 π 中位置 k 的 DCG 为
其中，函数 G 是 对应 doc 的 rating 值，通常采用指数函数，如 G(x)=2^x-1，函数 η 即位置折扣因子，通常采用 η(j)=1/log(j+1)。
其次，对 DCG@k 进行归一化，规整到0-1，Z_k 表示 DCG@k 的可能最大值，从而有 NDCG
可以发现，这些评估指标具备两大特性：
基于 query ，即不管一个 query 对应的 docs 排序有多糟糕，也不会严重影响整体的评价过程，因为每组 query-docs 对平均指标都是相同的贡献。
基于 position ，即显式的利用了排序列表中的位置信息，这个特性的副作用就是上述指标是离散不可微的。
一方面，这些指标离散不可微，从而没法应用到某些学习算法模型上；另一方面，这些评估指标较为权威，通常用来评估基于各类方式训练出来的 ranking 模型。因此，即使某些模型提出新颖的损失函数构造方式，也要受这些指标启发，符合上述两个特性才可以。这些细节在后面会慢慢体会到。
1.2 Learning to Rank
Learning2Rank 即将 ML 技术应用到 ranking 问题，训练 ranking 模型。通常这里应用的是判别式监督 ML 算法。经典 L2R 框架如下
- 特征向量 x 反映的是某 query 及其对应的某 doc 之间的相关性，通常前面提到的传统 ranking 相关度模型都可以用来作为一个维度使用。
- L2R 中使用的监督机器学习方法主要是判别式类。