欧几里得&&扩展欧几里得

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欧几里得算法：

  欧几里得算法，也叫辗转相除，简称 gcd，用于计算两个整数的最大公约数

  原理：辗转相除法求解最大公约数（公因子）

  设两数为a、b(a>b)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数

  r=a (mod b) ()为a除以b的余数，q为a除以b的商，即a÷b=q.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

证明： a/b = q;   a = q*b+r;  

      <1>当 r=0时，b为a与b的最大公约数

      <2>当 r!=0时， 设a、b的最大公约数为c， a = m*c; b=n*c;  (因为c为a、b的最大公约数，所以m,n互质)

          r = a-q*b;   r = (m*c)-q*b(n*c)=(m-q*b*n)*c，由此可知c也是r的约数，

         所以我们可以继续b/r直到r为0，我们就得出a,b的最大公约数了

递归：

#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
    if(b==0)
        return a;
    return 
        gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    int a,b,ans;
    cin>>a>>b;
    ans = gcd(a,b);
    cout<<ans;
    return 0;
} 

优化：

#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
    int a,b,ans;
    cin>>a>>b;
    ans = gcd(a,b);
    cout<<ans;
    return 0;
} 

 最小公倍数lcm: a=m*c b=n*c;m与n互质，所以lcm(a,b)=a*b/c 

#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
    return a%b?gcd(b,a%b):b;
}
int main()
{
    int a,b,c,ans;
    cin>>a>>b;
    c = gcd(a,b);
    ans = a*b/c;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
} 

扩展欧几里得算法：

  扩展欧几里得算法，简称 exgcd，一般用来求解不定方程，求解线性同余方程，求解模的逆元等

   扩展欧几里得算法：求a*x+b*y=c的通解。

裴蜀定理：对于整数a,b，他们关于x,y的线性不定方程ax+by=d，设gcd(a,b)=g，

          则可证明g|d，换句话说，就是g是a,b的最小线性组合

证明：

.                设a*x+b*y=t,

          <1>当b=0时，t=a（因为gcd算法，if(b==0) return a;），则有a*x=a，易得x=1.

          <2>当b!=0时，设a*x1+b*y1=gcd(a,b),b*x2+(a%b)*y2=gcd(b,a%b);由于gcd(a,b)=gcd(b,a%b),联立有：a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2。

              a%b=a-(a/b)*b;(a/b向下取整）。

                             则 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2

　　　　         ax1+by1=bx2+ay2-a/b*by2

　　　　         ax1+by1=ay2+bx2-b*a/b*y2

　　　　         ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)

　　　　         解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2

根据上面的证明，在实现的时候采用递归做法，先递归进入下一层，等到到达最后一层即 b=0 时就返回x=1 , y=0

再根据 x=y’ , y=x’-a/b/y’ ( x’ 与 y’ 为下一层的 x 与 y ) 得到当层的解。不断算出当层的解并返回，最终返回至第一层，得到原解

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}

乘法逆元：

    在同余问题中，有ax≡1(mod p)，其中p∈{素数}，则称x为a在mod p域下的逆。

拓展欧几里得求逆元

 PS:  a ≡ b (mod m) 读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。 比如 26 ≡ 14 (mod 12)。

什么是逆元？a∗x≡1 (mod m)   ,这里x就是a的逆元。逆元有什么用呢？如果我们要求a/b mod m的值，而a，b很大，设b的逆元为x，

这个时候注意到(a/b)∗x∗b=(a/b) mod m= a ∗ x mod m巧妙地把出发转换成了乘法。

为什么求逆元跟欧几里得算法联系起来了呢？根据上面裴蜀定理，我们知道gcd是a,b两个数线性组合的最小值，其他组合值都是gcd的倍数，

当gcd为1时，a,b互质，满足ax+by=1，移项得ax=−by+1,即ax≡1 mod b ,此时的x就是逆元。实际上线性不定方程组有无穷多解，这里只求正的最小的逆元。

int cal(int a,int m)
{
    int x,y;
    int gcd = ex_gcd(a,m,x,y);
    //cout << "a " << a << " m " << m << " x " << x << " y " << y << endl;
    if(1%gcd!=0) return -1;
    x*=1/gcd;
    m = abs(m);
    int ans = x%m;
    if(ans<=0) ans += m;
    return ans;
}

这里1%gcd是看gcd是不是1，前面说了，d（这里是1）应该是gcd的倍数，而且不互质的两个数没有逆元。

x∗=1/gcdx∗=1/gcd实际上更一般的写为x∗=d/gcdx∗=d/gcd，也就是求解一般不定方程ax+by=dax+by=d的解，因为d是gcd的倍数，我们就把倍数乘上去解得x′=x∗(d/gcd)x′=x∗(d/gcd)。

m是负数的话，我们取|m|，如果求出来x是负数，就x%|m|,结果再加上|m|即可。（因为有无穷个解，通解为x+m∗tx+m∗t）

 PS：

     模运算:( a + b ) mod p = ( a mod p + b mod p ) mod p

                         ( a * b ) mod p = ( (a mod p) * (b mod p) ) mod p