Dijkstra + 堆优化
(Dijkstra) 算法又称“迪杰斯特拉”或“迪克斯特拉”算法，是由荷兰计算机科学家 (Edsger) (Wybe) (Dijkstra) 提出，通常用于求不含负权边的单源最短路径。
基本原理
首先用 (dis) 数组记录起点到每个结点的最短路径，再用一个集合 (T) 保存已经找到最短路径的结点，然后从 (dis) 数组中选择最小值，则该值就是源点 (s) 到该值对应的结点 (u) 的最短路径，把该结点 (u) 加入到 (T) 中，并且用结点 (u) 当前的最短路径估计值对离开结点 (u) 所指向的结点 (v) 进行松弛操作，即判断是否有 (dis[v]>dis[u]+w)（(w) 是连接 (u) 与 (v) 的边的长度），若有，则更新 (dis[v])。这样不断从 (dis) 数组中选择最小值对应的结点来进行松弛操作，直至所有结点都在集合 (T) 中为止。
同时，我们发现在 (dis) 数组中选择最小值时，我们可以用一些数据结构来进行优化。相对于线段树和平衡数来说，(STL) 里的堆有着常数小，码量小等优点，并且堆的一个妙妙的性质就是可以在 (nlog_2n) 的时限内满足堆顶是堆内元素的最大（小）值，因此，我们可以选择使用堆来优化 (Dijkstra) 算法。
效率分析
相较于 (Spfa)，(Dijkstra) 算法更为稳定而不易被卡。普通的 (Dijkstra) 算法的期望时间复杂度为 (O(V^2)) ，其中 (V) 是结点数。而加了堆优化的 (Dijkstra) 算法的复杂度可以降到 (O((V＋E)log_2V)) ，在稠密图中表现得更为优秀。
核心代码
ll n,m,s,cnt,head[maxn],dis[maxn];
bool vis[maxn];
struct Edge{ll u,v,w,next;}edge[maxm];
struct node
{
ll w,now;
inline bool operator<(const node &x)const
/*重载运算符（大根堆）*/
{
return w>x.w;
}
};
inline void add(ll u,ll v,ll w) /*链式前向星存图*/
{
edge[++cnt].u=u;
edge[cnt].v=v;
edge[cnt].w=w;
edge[cnt].next=head[u];
head[u]=cnt;
}
inline void Dijkstra()
{
priority_queue<node>q; /*优先队列优化*/
for(ll i=1;i<=n;i++)
dis[i]=INF,vis[i]=0; /*初始距离设为INF,访问标记置为0*/
dis[s]=0;
q.push((node){0,s}); /*源点入队*/
while(!q.empty())
{
node x=q.top(); /*队首元素出队*/
q.pop();
ll u=x.now;
if(vis[u])continue; /*如果已遍历过就跳过*/
vis[u]=1;
for(ll i=head[u];i;i=edge[i].next) /*寻找与所有以队首结点 u 为起点的边*/
{
ll v=edge[i].v,w=edge[i].w;
if(dis[v]>dis[u]+w)
{
dis[v]=dis[u]+w; /*松弛操作*/
q.push((node){dis[v],v}); /*入队*/
}
}
}
}
例题解析
洛谷 P4779 【模板】单源最短路径（标准版）
给出一个有向图 (G＝＜V,E＞) ，一个源点 (S) ，求点 (S) 到图中所有点的最短距离。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 100005
#define maxm 200005
#define INF 1234567890
template<class T>inline bool read(T &x)
{
x=0;register char c=getchar();register bool f=0;
while(!isdigit(c)){if(c==EOF)return false;f^=c=='-',c=getchar();}
while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
if(f)x=-x;
return true;
}
template<class T>inline void print(T x)
{
if(x<0)putchar('-'),x=-x;
if(x>9)print(x/10);
putchar(x%10^48);
}
template<class T>inline void print(T x,char c){print(x),putchar(c);}
ll n,m,s,cnt,head[maxn],dis[maxn];
bool vis[maxn];
struct Edge{ll u,v,w,next;}edge[maxm];
struct node
{
ll w,now;
inline bool operator<(const node &x)const
{
return w>x.w;
}
};
inline void add(ll u,ll v,ll w)
{
edge[++cnt].u=u;
edge[cnt].v=v;
edge[cnt].w=w;
edge[cnt].next=head[u];
head[u]=cnt;
}
inline void Dijkstra()
{
priority_queue<node>q;
for(ll i=1;i<=n;i++)
dis[i]=INF,vis[i]=0;
dis[s]=0;
q.push((node){0,s});
while(!q.empty())
{
node x=q.top();
q.pop();
ll u=x.now;
if(vis[u])continue;
vis[u]=1;
for(ll i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
ll v=edge[i].v,w=edge[i].w;
if(dis[v]>dis[u]+w)
{
dis[v]=dis[u]+w;
q.push((node){dis[v],v});
}
}
}
}
int main()
{
read(n),read(m),read(s);
ll u,v,w;
for(ll i=1;i<=m;i++)
{
read(u),read(v),read(w);
add(u,v,w);
}
Dijkstra();
for(ll i=1;i<n;i++)print(dis[i],' ');
print(dis[n],'
');
return 0;
}