BZOJ 1677 [Usaco2005 Jan]Sumsets 求和：dp 无限背包 / 递推【2的幂次方之和】

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1677

题意：

　　给定n(n <= 10^6)，将n分解为2的幂次方之和，问你有多少种方法。

题解：

　　两种方法。

　　一、无限背包

　　　　将1,2,4,8...看作物品体积就好。

　　　　复杂度O(n*k)，k约为20。

　　二、递推

　　　　对于dp[i]，有两种情况。

　　　　　　（1）i为奇数。则分解结果中一定有1。

　　　　　　　　　　所以dp[i] = dp[i-1]。

　　　　　　（2）i为偶数。再分两种情况：

　　　　　　　　　　a. 分解结果中有1，所以dp[i] += dp[i-1]

　　　　　　　　　　b. 分解结果中没有1，即所有加数都是2的倍数。可以将所有加数都除以2，所以dp[i] += dp[i/2]

　　　　　　　　　　综上：dp[i] = dp[i-1] + dp[i/2]

AC Code（背包）:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 1000005
#define MOD 1000000000

using namespace std;

int n;
int dp[MAX_N];

int main()
{
    cin>>n;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0]=1;
    for(int i=0;i<=20;i++)
    {
        for(int j=(1<<i);j<=n;j++)
        {
            dp[j]=(dp[j]+dp[j-(1<<i)])%MOD;
        }
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
}

AC Code（递推）:

// if is odd dp[i] = dp[i-1]
// if is even dp[i] = dp[i-1] + dp[i/2]
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 1000005
#define MOD 1000000000

using namespace std;

int n;
int dp[MAX_N];

int main()
{
    cin>>n;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(i&1) dp[i]=dp[i-1];
        else dp[i]=(dp[i-1]+dp[i>>1])%MOD;
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
}