第四章
4.1线性判据基本概念
- 生成模型：直接在输入空间中学习其概率密度p(x)，对于贝叶斯分类，用作观测似然。然后可以通过这个p(x)生成新的样本数据；也可以检测出较低概率的数据，进行离群点检测。但是p(x)需要大量的数据才能学习得好，不然会出现维度灾难。
- 判别模型：直接在输入空间输出后验概率。快速，省去了观测似然的部分。
- 线性判据：如果判别模型f(x)是线性函数，那f(x)为线性判据。对于二分类，决策边界是线性；对于多分类，相邻两类的决策边界也是线性。计算量少，适合样本少的情况。
- 线性判据模型：f(x) = w.T @ x + w0, w决定了决策边界的方向，w0决定了决策边界的偏移量，使得输出可为正负。
- 任意样本x到决策边界的垂直距离：r = f(x) / ||w||。
4.2线性判据学习概述
- 线性判据有可能有多个解，所以学习算法要去找到最优解，也就是最优的w和w0。
- 目标函数常有均方差、交叉熵，加入各种约束条件来提高泛化能力，如正则项、加入边缘约束等，缩小解域。对其求最优一般两个方法：解析解、迭代梯度下降。
4.3并行感知机算法
- 感知机算法需要将负label取反。
- 目标函数是被错误分类的所有训练样本的输出取反求和。
- 由于目标函数求偏导后不含参数w和w0，所以使用梯度下降来找最优，需要设置步长、阈值，和初始化w和w0，当目标函数小于阈值或者大于等于0后，停止。
4.4串行感知机算法
- 训练样本一个一个给出的时候，叫做串行。
- 目标函数相对于并行，变成对当前训练样本的输出取反。遍历所有样本，当ak.T @ yn时更新ak+1。
- 如果训练样本是线性可分的，感知机算法理论上会收敛。步长能够决定收敛的速度，以及是否收敛到局部或者全局最优点。目标函数如果对于任意a，存在常数L，使得|J(a)| < L，那么步长为1 / (2L) 的时候能够收敛到局部最优。如果目标函数是凸函数，局部最优就是全局最优。
- 当样本位于决策边界边缘的时候，对样本的决策有很大的不确定性，加入边缘约束b，使得解出的w和w0不为0。
4.5Fisher线性判据
- Fisher：找到一个合适的投影轴，使得两类样本在轴上重叠部分最少。也就是类内样本离散程度更小，更聚集，类间差异更大，距离更远。
- 类间样本用均值差度量，类内样本用协方差矩阵度量。
- fisher中利用协方差的逆，将两类均值差的向量进行旋转，以适应类分布的形状。
4.6支持向量机基本概念
- 感知机思想：最小化分类误差；fisher：数据降到一维，最大化类间距离，最小化类内散度。
- 支持向量机思想：两个类与决策边界最近的训练样本到决策边界的距离和最大。
- 支持向量机需要将负类label设为-1。引入概念：支持向量。
- 目标函数就是最大化间隔的距离和，约束条件是间隔里面没有样本，也就是输出值的绝对值要大于间隔值，ppt上为1。
4.7拉格朗日乘数法
- 利用拉格朗日乘数法解决条件优化问题。
- 分为不等式约束和等式约束的优化问题。
- 等式约束中g(x) = 0的条件，使得λ可正可负，f(x)和g(x)的梯度方向一定平行，但方向可能同向或者反向，且梯度幅值不同。
- 不等式约束分为两种情况，一种是极值点在可行域内，相当于g(x) < 0，那么必有λ为0；另一种是极值点落在可行域边界，那么λ大于0，即f(x)的梯度方向将和g(x)平行且相反。
4.8拉格朗日对偶问题
- 对于要求解的主问题，往往难以求解。因此引入对偶函数，给出了主问题最优值的下界。
- 对偶函数与x无关，并且是凹函数。目标函数是凹函数，约束条件是凸函数，那么对偶问题是凸优化问题，不论主函数的凹凸性。
- 凸优化的性质：局部极值点就是全局极值点，于是对于主问题的求解，往往可以求解其对偶问题，得到主问题的下界估计。
- 分为强对偶性和弱对偶性。
4.9支持向量机学习算法
- 回到4.6节未解决的最大化间隔的距离和，构建拉格朗日函数、对偶函数。
- 对对偶函数进行一系列的演化，利用二次规划求解N个最优的拉格朗日乘数，并以此计算最优的w和w0。
- w和w0的学习过程实际上是在训练样本中选择一组支持向量，用作线性分类器。
4.10软间隔支持向量机
- 由于绝对地要求间隔中无样本，并且可能存在噪声和异常点，导致其被选作支持向量，使得决策边界过拟合。所以允许在一定程度上，让训练样本出现在间隔区域内。
- 因此引入松弛变量，松弛变量的大小决定了错误分类的程度，一般不能超过间隔大小，使得线性SVM可以近似分类非线性数据。
- 再引入正则系数，对错分进行惩罚，但要控制C不能过大，防止过拟合。
- 同样地，构建拉格朗日函数、对偶函数来求最优的w和w0。
4.11线性判据多类分类
- 多类分类的本质是非线性。于是需要多个分类器进行组合。
- 方式一：one2all，需要K个分类器，并假设每个类与其他类线性可分。样本属于分类器输出为正的类。决策边界垂直于wi。不适合数据集不平衡，会出现重叠区域和拒绝区域。
- 方式二：线性机，对于输出，不再使用选择值为正的类，而是选择输出最大的类。因为离分类边界越远，该类被判错可能性越小，由此解决了重叠区域，但仍不能解决拒绝区域。
- 方式三：one2one，化为一个正类，其余类均为负类，共需要K(K - 1) / 2个分类器，能够避免数据集不平衡的问题。如果所有和Ci相关的分类器输出都为正，那么x属于Ci。可以适用于线性不可分的情况，实现非线性分类。仍存在拒绝区域，于是使用输出max思想，选择与其成对的所有分类器输出之和最大的类。
4.12线性回归
- 输入样本分为tall数据和wide数据。
- 线性回归需要学习参数W，目标函数使用均方误差，最小化其输出和真值的误差。一般使用二范式。
- 使用最小二乘法或者梯度下降法来目标优化。
- 其中，如果X.T @ X是非奇异矩阵，那么W有唯一解，否则，W有无穷个解或者无解。对于tall数据，X.T @ X是非奇异矩阵的可能性大，如果是wide数据，那必定是奇异矩阵。因此，最小二乘法适合tall数据。
- 最大似然等同于最小化均方误差。
4.13逻辑回归的概念
- 当两个类别数据的协方差不同时，MAP分类器的决策边界是超二次型曲面，非线性。
- 当观测是高斯分布并且协方差矩阵相同时，利用logit变换，后验概率对数比率等于线性判据输出。
- 线性模型f(x)输入sigmoid函数，得到logistic回归，就是其后验概率。
- 逻辑回归是一个非线性模型，对于分类任务，只能处理线性可分的情况；对于拟合任务，能够拟合有限的非线性曲线。
4.14逻辑回归的学习
- 逻辑回归需要学习w和w0。负类标签设为0。
- 利用最大似然估计，对于所有训练样本，最大化输出标签分布的似然函数，求得参数的最优值。
- 利用梯度下降法，迭代得到w和w0。
- sigmoid函数会出现梯度消失问题，在输出值接近于1的时候，输入的巨大变化也只能导致输出的小范围变动。所以在初始化的时候，选择较小的初始值，并设置阈值，到达阈值的精度时，停止迭代，防止过拟合。在神经网络中，利用relu等激活函数来代替sigmoid。
4.15Softmax判据的概念
- 分类K个类，构建K个线性分类器，分为该类和剩余类。由于所有类的后验概率和为1，可以得到任意类的后验概率表示。也就使得K个线性分类器能够计算得到每个类的后验概率。
- 该方法叫做Softmax函数，由于K个分类器的输出，特别是一个类远大于其他类，此时需要将其进行exp函数和归一化操作。与max函数不同的是，Softmax函数可微分。
- 由此得到Softmax判据，就是得到最大Softmax函数计算得到的那个类的下标。在分类任务时，等同于one2one的线性机。
- Softmax判据常用于神经网络的输出层之后，比如利用CNN来分类手写数字时，得到其输出最大值下标。
- Softmax判据是一个非线性模型，对于分类任务，能够处理多个类别、每个类别和其余类线性可分的情况；对于回归任务，能够拟合exp形的非线性曲线。
4.16Softmax判据的学习
- Softmax判据需要学习K组w和w0。
- 和逻辑回归的学习相似，目标函数能够使用交叉熵解释。不同的是，使用one-hot编码，模型输出的概率分布符合多项分布。
- 在目标函数梯度下降求w和w0时，与逻辑回归不同的是，Softmax针对每个输出类别分别计算梯度值，但每个参数的梯度值与所有的类别样本都相关。
- Softmax判据输出为非线性，但只能刻画线性分类边界。
4.17核支持向量机（Kernel SVM）
- Kernel思想是将低维空间中线性不可分的样本数据，找到一个映射，使得这些样本数据在高维空间线性可分。
- 由此，就能够使用SVM来进行分类。
- 核函数：在低维空间的一个非线性函数，包含向量映射和点积计算。
- 核SVM的决策是关于测试样本和支持向量的核函数的线性组合。决策边界是非线性的。
- 同样的，在高维空间中计算SVM时，也需要计算其对偶问题的解，对于软间隔SVM也需要引入松弛量。
- 多项式核可以解决线性不可分问题，但当参数较大时，计算困难，超参数多。
- 高斯核具有更明显的非线性，但容易过拟合。
