【bzoj3173】【Tjoi2013】【最长上升子序列】treap+dp二分优化

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向大(hei)佬(e)实力学(di)习(tou)

Description

给定一个序列，初始为空。现在我们将1到N的数字插入到序列中，每次将一个数字插入到一个特定的位置。每插入一个数字，我们都想知道此时最长上升子序列长度是多少？
Input

第一行一个整数N，表示我们要将1到N插入序列中，接下是N个数字，第k个数字Xk，表示我们将k插入到位置Xk（0<=Xk<=k-1,1<=k<=N）
Output

N行，第i行表示i插入Xi位置后序列的最长上升子序列的长度是多少。
Sample Input

3

0 0 2
Sample Output

1

1

2
HINT

100%的数据 n<=100000

其实这道题算是一道裸题了，拿来练习一下模板。看到这种活动的插入，就能立即想到平衡树。至于最长上升子序列，如果每插入一次就求一次，再优化都要超时。于是我们就找找性质，发现：由于是有序插入，后插入的一定大，那么每插入一个点，以此点结尾的最长上升子序列就不受后面点的干扰。那么在插入完毕后求一次最长上升子序列就可以了。之后的输出需注意要求的是整个数列的答案，还要在小于等于插入数的dp数组中求max。因为这个我又wa了一遍

至于二分优化，其实也算是练手。简单梳理一下，也便自己理解更透彻。要开一个单调栈（？），存两个元素，一个为值，一个为下标。
以 6 2 1 4 3 为例，从左往右扫
6进栈 >6(1)
dp[1]=1;
2比栈顶元素小，要去替换，二分到6，替换>2(2)
dp[2]=1;
1同理>1(3)
dp[3]=1;
4>1，4直接进栈>1(3) 4(4)
dp[4]=dp[3]+1=2;
3二分换4，>1(3) 3(5)
dp[5]=dp[3]+1=2;
最后再for一遍找max，总o（log n）

这道题因为比较特殊，数字不重复，且按序插入，所以直接以数字本身作为下标。

求最长上升子序列还可以用树状数组优化，哪天再遇到这样的题再复习树状数组优化吧！

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std ;

const int N=100000+5;

int n,x;
struct Node{
    Node *ch[2];
    int v,r,siz;
    int cmp(int x){
        return x <= ch[0]->siz ? 0 : 1;
    }
}*root,*null,pool[N],*tail=pool;
int c[N],top=0,dp[N];

Node *newnode(){
    Node *rt=++tail;
    rt->ch[0]=rt->ch[1]=null;
    rt->v=rt->r=rt->siz=0;
    return rt;
}
void rotate(Node *&nd,int d){
    Node *tp=nd->ch[d];
    nd->ch[d]=tp->ch[d^1];tp->ch[d^1]=nd;
    nd->siz=nd->ch[0]->siz+nd->ch[1]->siz+1;
    tp->siz=tp->ch[0]->siz+tp->ch[1]->siz+1;
    nd=tp;
}
void insert(Node *&nd,int val,int pos){
    if(nd==null){
        nd=newnode();
        nd->v=val;
        nd->siz=1;
        nd->r=rand();
        return ;
    }
    int d=nd->cmp(pos);
    insert(nd->ch[d],val,d ? pos - nd->ch[0]->siz - 1: pos );
    if(nd->ch[d]->r > nd->r ){
        rotate(nd,d);
    } 
    nd->siz=nd->ch[0]->siz+nd->ch[1]->siz+1;
}
int get_dp(int x){
    int rt;
    if(x>c[top]){
        c[++top]=x;
        return dp[c[top-1]]+1;
    } 
    int le=0,ri=top;
    while(le<ri){
        int mid=(le+ri)>>1;
        if(c[mid]>x) ri=mid;
        if(c[mid]<=x) le=mid+1;
    }
    c[le]=x;
    return dp[c[le-1]]+1;
}
void query(Node *nd){
    if(nd==null) return ;
    query(nd->ch[0]);
    dp[nd->v]=get_dp(nd->v);
    query(nd->ch[1]);
}
int main(){
    srand(23425546);
    null=++tail;
    null->ch[0]=null->ch[1]=null;
    null->v=null->r=null->siz=0;
    root=null;

    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&x);
        insert(root,i,x);
    }
    query(root);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dp[i]=max(dp[i-1],dp[i]);
        printf("%d
",dp[i]);
    }
    return 0;
}

总结：
1、对题的辨析能力还需加强，要多想多观察，找到不被影响的东西