（标题党）利益声明：本文标题纯粹胡扯请读者忽略。
I. PreFace
我们来看这样一题（虽然跟本文看起来没什么关系）：
给定序列 (A)，请在 (O(n)) 时间内求出如下式子：
[sum_{l=1}^nsum_{r=l}^{n}min_{lle j le r} A_j
]
这个式子中最困难的理应是区间最小值这一项，倘若枚举 (l,r)，这个式子再怎么都是 (O(n^2)) 的。但是我们可以枚举这个最小值，对于每个位置看一看它在哪些区间中是最小值，然后就可以快速统计了。
你会发现这东西就好像是一个黎曼不可积的函数，它可能勒贝格可积；我们枚举的这个最小值就是在给 (y) “分段”，而寻找它在哪些区间中作为最小值其实就是在寻找它的 勒贝格测度 。
事实上，我们要求的这个式子其实就是一个三维上的分段函数，(i) 和 (j) 是自变量，(min) 是函数值；尽管它黎曼不可积，但是它勒贝格可积。这就解释了为什么这么走行得通而直接枚举 (i,j) 行不通。（胡扯中）。
I. 正文
我们考虑把这个方法用到整除的偏序集上。来一个简单的例题：
[f(n,m)=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m gcd(i,j)
]
让我们把它写成这样的形式（左边的函数值，右手边用条件的形式表示测度）：
[f(n,m)=sum_{d=1}^{min(n,m)} d sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m [gcd(i,j) = d]
]
用一个常用方法：(gcd=k) 的时候把 (i)、(j) 除以 (k)，得到如下式子：
[f(n,m)=sum_{d=1}^{min(n,m)} d sum_{i=1}^{left lfloor frac{n}{d}
ight
floor}sum_{j=1}^{left lfloor frac{m}{d}
ight
floor} varepsilon(gcd(i,j))=sum_{d=1}^{min(n,m)} d imes g(left lfloor frac{n}{d}
ight
floor, left lfloor frac{m}{d}
ight
floor)
]
上面这个方法的意义在于，现在它可以用 (1 * mu = varepsilon) 了：
[g(n,m)=sum_{i=1}^nsum_{i=1}^msum_{d|i, d|j} mu(d)
]
于是我们又可以把它写成这样的形式：
[g(n,m) = sum_{d=1}^{min(n,m)} mu(d) sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m = sum_{d=1}^{min(n,m)} mu(d) left lfloor frac{n}{d}
ight
floor imes left lfloor frac{m}{d}
ight
floor
]
这个式子已经可以 (O(n)) 求了。
III. Tricks
我们罗列一些方法、技巧、常见结论：
- (id = varphi * 1)，例如上面那个 (gcd) 的式子，我们一开始就不用直接把 (gcd) 直接提出来，而是把它展开后提出来，这样可以省却很多测度中的条件：
[f(n,m) = sum_{i=1}^nsum_{j=1}^msum_{d|i,d|j}varphi(d)=sum_{d=1}^{min(n,m)}varphi(d) left lfloor frac{n}{d}
ight
floor imes left lfloor frac{m}{d}
ight
floor
]
-
(varepsilon = 1 * mu)，这个式子可以解决很多测度中遇到的条件式，即 ([a = b] = [frac{a}{b} = 1])，这个的运用就很广泛了，所以不用举例。
-
给整除条件、(gcd) 等的式子约分，比如下面这两个：
[sum_dsum_{i=1}^nsum_{j=1}^n[d|i,d|j] imes i imes j imes gcd(i,j) = sum_d d^3sum_{i=1}^{left lfloor frac{n}{d}
ight
floor}sum_{j=1}^{left lfloor frac{n}{d}
ight
floor}ijgcd(i,j)
]
[sum_{i|n}sum_{j|m}sum_{x|i,x|j}d(x) = sum_{x|n, x|m}d(x)sum_{i|n}sum_{j|m}[x|i, x|j] = sum_{x|n, x|m}d(x) sum_{i|frac{n}{x}}sum_{j|frac{m}{x}}1 = sum_{x|n,x|m}d(x)d(frac{n}{x})d(frac{m}{x})
]
- 利用辗转相减的式子首尾相加，如下面两个式子：
[sum_{i=1}^n i [gcd(i,n)=1] = frac{nvarphi(n)}{2}
]
[sum_{i=1}^n frac{icdot n}{gcd(i,n)} = frac{1}{2} cdot sum_{i=1}^{n-1} frac{n^2}{gcd(i,n)} +n
]
-
$ d(icdot j)=sumlimits_{x mid i}sumlimits_{y mid j}[gcd(x,y)=1]=sumlimits_{p mid i,p mid j}mu(p)dleft(frac{i}{p}
ight)dleft(frac{j}{p}
ight)$，应用看这题：「SDOI2015」约数个数和。
-
(d = 1 * 1)，(sigma = 1 * id)，这个用于将含有这两个的式子展开来。
未完待续......