一维随机变量及其分布

离散型随机变量

• 如果一个随机变量X全部可能取值为有限个或可列多个。
• 离散型概率分布：P(X=x_k)=p_k

(0-1)分布

• 随机变量X的所有可能取值为0或1
• P(X=k)=p^k(1-p)^1-k,k=0,1

二项分布

• 用于描述可重复进行独立试验的随机现象。在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。

超几何分布

• 有N件产品，有M件次品，随机取n件进行抽查，其中有k件次品

泊松分布

• 若随机变量X的所有可能取值为一切非负整数。以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。

（X服从参数为λ的泊松分布）

几何分布

• 在重复独立试验中，考察事件A发送与否，且P(A)=p。以X表示事件A首次发生时的试验次数。

巴斯卡分布

• 进行重复独立试验，事件发生一次的概率为p，则考察事件发生r次的概率

连续型随机变量及其分布

设随机变量X的分布函数为F(X)，如果存在非负函数f(x)，使得对任意实数x，有，则称X是连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数。

概率密度f(x)性质：

1. f(x)>=0
2. 

    

3.  对任意实数x₁，x₂(x₁<x₂)有：

    

4.  若f(x)在点x处连续，则有F^'(x)=f(x)

均匀分布

若随机变量X的概率密度函数为：

X的分布函数为：

X落在(a,b)中任一子区间(c,c+l)内（其中a<c<c+l<b)的概率仅与子区间的长度l成正比，而与子区间的位置无关，这说明X落在两个长度相等的子区间内的概率是相等的。

  

指数分布

若随机变量X的概率密度函数为：

X的分布函数为：

    

正态分布

若随机变量X的概率密度函数为：

X的分布函数为：

 

概率密度f(x)具有以下性质：

1. f(x)的图形关于x=μ对称
2. x=μ时，f(x)取得最大值
3. 在x=μ+σ，μ-σ处有拐点
4. 概率密度曲线y=f(x)以x轴为渐近线

正态分布的参数μ，σ有重要意义：

1. 若固定σ，改变μ，则f(x)的图形沿x轴平行移动，而不改变形状。μ是反映分布的中心位置，称为位置参数
2. 若固定μ，改变σ，由于f(x)的最大值为，可知σ越小，最大值会越大，图形会变得“集中”，“高”，“瘦”。σ是反映分布的分散程度的，称为形状参数

标准正态分布

当μ=0，σ=1，则称X服从标准正态分布。

1. 概率密度：
2. 分布函数：，且
3. 若，则

随机变量的分布函数

• 设X是一个随机变量，x是任意实数，则称函数F(x)=P(X<=x)，为随机变量X的分布函数，也记为F_X(x)。
• 随机变量X落在任意区间(x₁,x₂](x₁<x₂)内的概率为：P(x₁<X<=x₂)=P(X<=x₂)-P(X<=x₁)=F(x₂)-F(x₁)

分布函数F(x)基本性质：

1. 0<=F(x)<=1
2. F(x)是单调不减函数。即对任意x₁<x₂，有F(x₁₎<=F(x₂)
3. ，
4. F(x)是右连续的。（函数在该点的右极限存在且等于该点的函数值）
5. 对于任意一个随机变量X，如果有X的分布函数F(x)在x=x₀处连续，则P(X=x₀)=0

离散型随机变量函数的分布

设P(X=x_k)=p_k,k=1,2,...，则由函数可列可加性得，。（这里求和是对所有满足x_k<=x的值求和）

连续型随机变量函数的分布

设X为连续型随机变量，其概率密度为f_X(x),求Y=g(X)的概率密度f_Y(y):

1. 求出Y=g
2. 由关系式f_Y(y)=F'_Y(y)求出f_Y(y)