Crt and ExCrt

### $Crt$

求解不定方程组

设(M=prodlimits_i^nm_i)

(M_i=frac{M}{m_i}=prodlimits_{k,k eq i}^nm_k)

(t_i)为(M_i)在模(m_i)时的逆元

先上结论 通解为(sumlimits_i^na_iM_it_i　mod　LCM(m_i))

证明:

对于方程组中第(i)个方程考虑

(ecause M_k(k eq i)　mod 　m_i=0)

( herefore sumlimits_{k,k eq i}^na_kM_kt_kequiv0　(mod　m_i))

又(ecause t_iM_iequiv1　(mod　m_i))

( herefore a_iM_it_iequiv a_i　(mod　m_i))

$ herefore sumlimits_i^na_iM_it_iequiv a_i　(mod　m_i) $

解合法

得证，通解为(sumlimits_i^na_iM_it_i　mod　LCM(m_i))

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){ x=1; y=0; return;}
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int tp=x;
    x=y; y=tp-a/b*y;
}

int china()
{
    int ans=0,lcm=1,x,y;
    for(int i=1;i<=k;++i) lcm*=b[i];
    for(int i=1;i<=k;++i)
    {
        int tp=lcm/b[i];
        exgcd(tp,b[i],x,y);//求逆元
        x=(x%b[i]+b[i])%b[i];//x要为最小非负整数解
        ans=(ans+tp*x*a[i])%lcm;
    }
    return (ans+lcm)%lcm;
}

ExCrt

扩展中国剩余定理解决的是(m_i)不互质的问题

不再是宏观上直接构造一个通解，因为它的通解无法直接用公式表示

用归纳法，考虑前(k-1)个方程的通解为(x(mod　M),　M=LCM(m_1到m_{k-1}))

我们为了符合第(k)个方程，需要加一些数，但为了保证前(k-1)个方程仍然成立，所以只能加若干倍的(M)，也就是说找到(x+t*Mequiv a_k(mod　m_k))

上式整理得(t*Mequiv a_k-x(mod　m_k))

可以用扩展欧几里得求解，若同余方程无解则整个方程组无解

否则新的解为(x+t*M(mod　LCM(M,m_k)))

有一些细节对代码解释

lt exgcd(lt a,lt b,lt &x,lt &y)
{
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    lt gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    lt tp=x;
    x=y; y=tp-a/b*y;
    return gcd;
}

lt excrt()
{
    lt x,y,k;
    lt M=bi[1],ans=ai[1];//一开始赋为初始值
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        lt a=M,b=bi[i],c=(ai[i]-ans%b+b)%b;//注意取模保证是正数
        lt gcd=exgcd(a,b,x,y),bg=b/gcd;//t*M-y*mk=gcd,gcd为M和mk的gcd
        if(c%gcd!=0) return -1; //因为求解是根据gcd而不是c，所以还要乘倍数，如果不是倍数证明无解
        
        x=mul(x,c/gcd,bg);//将x乘倍数，这里取模mk/gcd的原因是x(也就是t)还要乘M，乘M之后不能超过LCM(M,mk)，也就是不能超过M*m/gcd，所以这里直接对m/gcd取模即可
        ans+=x*M;//答案更新
        M*=bg;//模数更新
        ans=(ans%M+M)%M;//处处取模小心负数
    }
    return (ans%M+M)%M;
}