【学习笔记】manacher算法

**$manacher$算法解决的问题是求一个字符串中的最长回文字串，也就是极长回文子串的长度，长度大约在$10^7$** #引入 回文串有两种情况：长度为奇数和长度为偶数 若长度为奇数则对称轴落在中间字符上，若长度为偶数则对称轴落在中间两个字符之间 如果这两种情况都考虑就会复杂很多，我们可以在每两个字符之间（包括开头结尾）加入一个分隔符 比如$abcdefg$变成$|a|b|c|d|e|f|g|$ 这样对称轴一定在字符上，若$x$表示一个对称轴向外扩展长度，那么答案就是$x-1$，一会给出证明 先说朴素做法：$1.O(n^3)枚举左右端点，再扫描$ $2.枚举对称轴所在字符，左右同时扩展,O(n^2)$ 这道题要求$O(n)$复杂度的做法 #$Manacher$ $manacher$算法实际上是上面的第二种算法改进而来的，考虑下面这种情况  假设从$mid$处扩展，能最远扩展到绿箭头上（最右点是时刻更新的），记为$r$，那么$r$右边的情况是未知的，假设我们现在最外层枚举到了$y$点，注意到$y$和$x$是关于$mid$对称的，那么以$x$为对称轴的回文串有可能左边界超出$l$，也有可能没有超出，根据回文串的性质，$y$能扩展的长度一定大于等于 $x$回文串能扩展的长度和到右边界距离的最小值（因为边界右边的情况是不知道的）。 所以我们可以赋值$y$的初始值，这样$y$的长度可以不从$0$开始扩展，优化了程序。

可以证明这个算法时间复杂度为(O(n))

至于输出长度的问题，我们记录的是向外扩展的最大距离，注意包括对称轴。对于(a|b|c|d|e)
有下面两种情况：

(1.)对称轴在分隔符上，这时候长度为一边的字母数(*2+1)，因为开头结尾也加了分隔符，扩展一定最远一定在分隔符上，扩展到一边的字母数也就是((len-1)/2)，两边总的长度是(len-1)

(2.)对称轴在字母上，这时长度为一边的字母数(*2)，扩展到一边的字母数是(len/2)，再乘(2)发现中间字母多算一遍，所以长度也是(len-1)

注意一下几点
(1.)初始扩展距离赋成(1)

(2.)开头结尾的两边再加不同的字符，避免数组越界
比如(*|a|b|c|d|e|f||)

更多非常巧妙的细节看代码

(Code)

#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#define maxn 30001000
using namespace std;
int n,hw[maxn],ans;
char a[maxn],s[maxn<<1];//数组一定开到两倍以上，两倍不够 
void manacher()
{
	int maxright=0,mid;
	for(int i=1;i<n;++i)
	{
		if(i<maxright)//如果在已知范围内 
		 hw[i]=min(hw[(mid<<1)-i],hw[mid]+mid-i);//mid<<1-i是中点公式，返回对称点位置，hw[mid]+mid-i=maxright-i+1 
		 //两种情况 
		else
		 hw[i]=1;//未知则只能初始值为1 
		for(;s[i+hw[i]]==s[i-hw[i]];++hw[i])//这里比较巧妙，hw一开始就是1，相当于看下一个符不符合，i+hw[i]就是当前的边界+1,当不符合后最右边为i+hw[i]-1，这时候hw[i]就是扩展长度 
		if(hw[i]+i>maxright) 
		{
			maxright=hw[i]+i;
			mid=i;//两个都更新 
		}
	}
}
void change()
{
	s[0]=s[1]='#';//开头之前的字符是#,结尾之后无字符，数组不会越界 
	for(int i=0;i<n;++i)
	{
		s[i*2+2]=a[i];
		s[i*2+3]='#';
	}
	n=n*2+2;//结尾后面 
	s[n]=0;//就是没有字符 
}
int main()
{
	scanf("%s",a);
	n=strlen(a);
	change();
	manacher();
	ans=1;//最短一定是1，赋初始值 
	for(int i=0;i<n;++i)
	   ans=max(ans,hw[i]); 
	printf("%d",ans-1);//为什么是-1推过了 
	  
}

(Update:10.28)

下面是解释答案为什么是(hw-1)的新版本，更容易理解一些
设原字符串总长度为(len)

假设长度为奇数，那么这个字符串是长成这样的

(*a*a*a*a*a*)

( herefore lceilfrac{len}{2} ceil*2=hw)

( herefore frac{len+1}{2} *2=hw)

( herefore len=hw-1)

假设长度为偶数，那么这个字符串是长成这个样子的

(*a*a*a*a*)

( herefore frac{len}{2}*2+1=hw)

( herefore len=hw-1)

证毕

(manacher)求回文串个数

(manacher)算法还可以求所有回文字串的个数，本质不同的回文字串指的是对称中心不同，因此以(i)为中心的回文字串的个数是就是原字符串向右扩展的距离
设原字符串总长度为(len)

假设长度为奇数，那么这个字符串是长成这样的

(*a*a*a*a*a*)

( herefore lceilfrac{len}{2} ceil*2=hw)

( herefore frac{len+1}{2} *2=hw)

( herefore len=hw-1)

假设长度为偶数，那么这个字符串是长成这个样子的

(*a*a*a*a*)

( herefore frac{len}{2}*2+1=hw)

( herefore len=hw-1)

证毕

假设以(i)为对称轴的最长回文串长度为奇数，因为一个字符也是回文串，所以以(i)为对称轴的回文串个数为(lceil frac{len}{2} ceil)就是(frac{len+1}{2}=frac{hw}{2})

假设以(i)为对称轴的最长回文串长度为偶数，则个数为(frac{len}{2}=frac{hw-1}{2})

又因为(hw)是奇数，所以(frac{len}{2}=frac{hw}{2})

综上，统计回文串个数只需要最后扫描加这样一句话就行

    for(int i=0;i<n;++i)
       ans+=hw[i]/2;