图形学入门(2)——圆生成算法（中点画圆法）

一个图形学萌新的学习记录。

学习了直线生成算法之后，继续来学习绘制圆弧的方法，如果要生成一个整圆，可以利用坐标系的八对称性，在其中一个象限绘制之后再在其他象限的对称点绘制即可。

我们首先考虑圆心在原点，半径为r的圆，计算出像素之后只需加上一个偏移量即可绘制圆心在任意一点的圆。

要画圆最暴力的方法当然是利用圆的参数方程来计算：

 但这样计算使用了三角函数和浮点运算，效率低下，所以通常我们使用中点画圆法来进行圆的绘制。

中点画圆法

中点画圆法利用的也是类似于Bresenham直线算法的思想，利用判别式选择像素，只需做简单的整数运算。

我们八象限中第二象限的1/8圆为例，若确定了一个像素点为($x_{p},y_{p}$)，那么下一个点要么是右方的P1，要么是右下方的P2。

构造函数一个函数F(x,y)=$x^{2}$+$y^{2}$-$R^{2}$，当F大于0时，点在圆外，反之则在圆内。

图中的M是P1和P2的中点，所以M=($x_{p}$+1,$y_{p}-0.5$)，当F(M)<0时，M在圆内，说明P1离圆弧更近，反之M在圆外，P2更近。

根据以上原理，可构造判别式：

 当$d_{p}$<0时，取P1为下一像素，下一像素判别式为：

 当$d_{p}$>0时，取P2为下一像素，下一像素判别式为：

 我们按顺时针方式生成八分圆，所以第一个像素为(0,R)，初始判别式为：

 1.25-R可以简化成1-R，去除浮点数运算，因为运算过程中增量都为整数，所以减去0.25是不会影响符号的。

代码实现如下：

void CirclePoints(HDC hdc, int x, int y,int offx,int offy)//利用对称性画整圆
{
    SetPixel(hdc, x + offx, y + offy, RGB(0, 0, 0));
    SetPixel(hdc, y + offx, x + offy, RGB(0, 0, 0));
    SetPixel(hdc, x + offx, -y + offy, RGB(0, 0, 0));
    SetPixel(hdc, -y + offx, x + offy, RGB(0, 0, 0));
    SetPixel(hdc, -x + offx, y + offy, RGB(0, 0, 0));
    SetPixel(hdc, y + offx, -x + offy, RGB(0, 0, 0));
    SetPixel(hdc, -x + offx, -y + offy, RGB(0, 0, 0));
    SetPixel(hdc, -y + offx, -x + offy, RGB(0, 0, 0));
}

void MidPointCircle(HDC hdc, int x1, int y1, int r)//中点画圆
{
    int x, y, e;
    x = 0; y = r; e = 1 - r;
    CirclePoints(hdc, x, y, x1, y1);
    while (x <= y)
    {
        if (e < 0)
            e += 2 * x + 3;
        else
        {
            e += 2 * (x - y) + 5;
            y--;
        }
        x++;
        CirclePoints(hdc, x, y, x1, y1);
    }
}

完整可运行Windows代码：

#include<Windows.h>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

const int ScreenWidth = 500;
const int ScreenHeight = 500;

LRESULT CALLBACK WinProc(HWND hWnd, UINT message, 
WPARAM wParam, LPARAM lParam)
{
    switch (message) {
    case WM_CLOSE:
        DestroyWindow(hWnd);
        break;
    case WM_DESTROY:
        PostQuitMessage(0);
        break;
    default:
        return DefWindowProc(hWnd, message, wParam, lParam);
        break;
    }
    return 0;
}

void CirclePoints(HDC hdc, int x, int y,int offx,int offy)//利用对称性画整圆
{
    SetPixel(hdc, x + offx, y + offy, RGB(0, 0, 0));
    SetPixel(hdc, y + offx, x + offy, RGB(0, 0, 0));
    SetPixel(hdc, x + offx, -y + offy, RGB(0, 0, 0));
    SetPixel(hdc, -y + offx, x + offy, RGB(0, 0, 0));
    SetPixel(hdc, -x + offx, y + offy, RGB(0, 0, 0));
    SetPixel(hdc, y + offx, -x + offy, RGB(0, 0, 0));
    SetPixel(hdc, -x + offx, -y + offy, RGB(0, 0, 0));
    SetPixel(hdc, -y + offx, -x + offy, RGB(0, 0, 0));
}

void MidPointCircle(HDC hdc, int x1, int y1, int r)
{
    int x, y, e;
    x = 0; y = r; e = 1 - r;
    CirclePoints(hdc, x, y, x1, y1);
    while (x <= y)
    {
        if (e < 0)
            e += 2 * x + 3;
        else
        {
            e += 2 * (x - y) + 5;
            y--;
        }
        x++;
        CirclePoints(hdc, x, y, x1, y1);
    }
}

int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance, HINSTANCE hPrevInstance, 
PSTR szCmdLine, int nShowCmd)
{
    WNDCLASS wcs;
    wcs.cbClsExtra = 0;                                         
    wcs.cbWndExtra = 0;                                         
    wcs.hbrBackground = (HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH);  
    wcs.hCursor = LoadCursor(hInstance, IDC_CROSS);              
    wcs.hIcon = LoadIcon(NULL, IDI_WINLOGO);                      
    wcs.hInstance = hInstance;                                 
    wcs.lpfnWndProc = (WNDPROC)WinProc;
    wcs.lpszClassName = "CG";
    wcs.lpszMenuName = NULL;
    wcs.style = CS_VREDRAW | CS_HREDRAW;
    RegisterClass(&wcs);
    HWND hWnd;
    hWnd = CreateWindow("CG", "DrawCircle", WS_OVERLAPPEDWINDOW, 
200, 200, ScreenWidth, ScreenHeight, NULL, NULL, hInstance, NULL);
    ShowWindow(hWnd, nShowCmd);
    UpdateWindow(hWnd);
    MSG msg;

    // hdc init
    HDC hdc = GetDC(hWnd);

    MidPointCircle(hdc, 200, 200, 150);

    // 消息循环  
    while (GetMessage(&msg, 0, NULL, NULL)) {
        TranslateMessage(&msg);
        DispatchMessage(&msg);
    }

    // release
    ReleaseDC(hWnd, hdc);
    return 0;
}

运行结果:

 接下来是区域填充算法，加油~