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树状数组和线段树
众所周知， 线段树和树状数组是兄弟来的
它们之间的关系
树状数组可以解的，线段树能解
树状数组不可以解的，线段树还是可以解
既然这样，那我学会线段树不就搞定了吗，干嘛还学树状数组呀
那么，树状数组优在何处呢？
其实呢，就是码量少，思维清晰，常数小吧
对比一下
单点修改区间查询
线段树100行起步
树状数组呢，50行左右吧
区间修改区间查询
线段树估计要飙到150了吧
树状数组依旧50行
没有对比就没有伤害呀
这时，有些线段树忠实粉或许会思考人生：你看我还有机会吗？
机会是有的，那就是，打树状数组吧（当然有些题还是要打线段树的啦）
树状数组简介
树状数组图解
此章节内容部分引用自bestsort的小站
众所周知，一棵满二叉树长这样：
挪一下位置后，变成了这样：
上面这个就是树状数组的画法
准确来说，这是求和数组的画法
把原数组(a)也加进来，成了这样（(c)是求和数组）
(c[i])表示子树叶子节点的权值
如上图，有
(c[1]=a[1]\
c[2]=a[1]+a[2]\
c[3]=a[3]\
c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]\
c[5]=a[5]\
c[6]=a[5]+a[6]\
c[7]=a[7]\
c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8])
转换成二进制再来看一眼
(c[1]=c[(0001)_2]=a[1]\
c[2]=c[(0010)_2]=a[1]+a[2]\
c[3]=c[(0011)_2]=a[3]\
c[4]=c[(0100)_2]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]\
c[5]=c[(0101)_2]=a[5]\
c[6]=c[(0110)_2]=a[5]+a[6]\
c[7]=c[(0111)_2]=a[7]\
c[8]=c[(1000)_2]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8])
对照式子可以发现，对于一个(i)
(c[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+a[i-2^k+3]……+a[i])（(k)为二进制下(i)最低位的1后面的0的个数,例如8对应的(k)就等于3，因为(8_{10}=(1000)_2)，最低位的1后面有3个0）
这时候，问题就来了，(2^k)怎么求？？？
引入(lowbit)
(lowbit)函数就是用来求(2^k)是多少的
具体操作是
int lowbit(int x) {return x&(-x);}
解释
“&”这个符号在C++中指的是按位与运算，具体是说，若在二进制下相同的位置两数都为1，那么&出的答案这一位也为1，否则为0
例如(12&6)
(12_{10}=(1100)_2)
(6_{10}=(0110)_2)（空位用0补齐）
(ans=(0100)_2=4_{10})
在上面这个数据中，12和6只有第三个位置上才都是1，那么答案也就只有这个位置上是1
（ 不过学树状数组的人应该都不会不知道位运算吧）
那么(x&(-x))是什么意思呢
首先说明(-x)在二进制下和(x)的关系
在二进制下，(-x)就是(x)取反后再加1
例如，(10_{10}=(01010)_2)，那么(-10_{10}=(10101)_2+1_2=(10110)_2)（第一位是符号位）
进行按位与运算后，答案就是((00010)_2=2^1=2_{10})（第一位是符号位）
眼睛扫一扫，发现答案就是(2)
神奇吧
具体证明呢
我们知道一个数取反后与原来的每个位置都是相反的，那么原本1的位置就是0，原本0的位置就是1，那么加一后会一直进位到第一个0，也就是在原本数上的第一个1，这时候按位与一下就只有第一个1及以前的是一样的，也就可以得到正确结果
基本应用
1.单点修改，区间查询
修改
若要更新当前节点的(a[i])
那么是不是可以直接更新(a[i])的上级，(a[i])上级的上级，以此类推
用(lowbit)到上级所在下标
void update(int now,int x)
{
int i;
for (i=now;i<=n;i+=lowbit(i))
c[i]+=x;
}
查询
对于区间查询，我们采取前缀和的求法
对于一个区间([l,r])，我们求出(r)的前缀和，减去(l-1)的前缀和即为答案
查询的具体过程呢，也很简单
就是从要查的节点以此往下，搜索下级
依旧是用(lowbit)
int get(int x)
{
int i,ans;
ans=0;
for (i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
ans+=c[i];
return ans;
}
题目
Code
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
long long n,m,i,x,y,ch,c[1000005];
long long lowbit(long long x)
{
return x&(-x);
}
void update(long long now,long long x)
{
long long i;
for (i=now;i<=n;i+=lowbit(i))
c[i]+=x;
}
long long get(long long x)
{
long long i,ans;
ans=0;
for (i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
ans+=c[i];
return ans;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&x);
update(i,x);
}
for (i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%lld%lld%lld",&ch,&x,&y);
if (ch==2) printf("%lld
",get(y)-get(x-1));
else update(x,y);
}
return 0;
}
2.区间修改，单点查询
修改
引入差分的思想，记录数组里每个元素与前一个元素的差，那么(a_i=sum_{j=1}^i d_j)，如果修改区间([l,r])，令其加上(x)，那么(l)与(l-1)的差增加了(x)，(r)与(r+1)的差减小了(x)，根据差分，就可以给(d_{l})加上(x)，给(d_{r+1})减去(x)
查询
直接根据(a_i=sum_{j=1}^i d_j)，查前缀和就好
题目
Code
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m,i,l,r,x,bj;
long long a[1000005],c[1000005];
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void update(int now,int x)
{
int i;
for (i=now;i<=n;i+=lowbit(i))
c[i]+=x;
}
long long get(int x)
{
int i;
long long ans;
ans=0;
for (i=x;i;i-=lowbit(i))
ans+=c[i];
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&a[i]);
update(i,a[i]-a[i-1]);
}
for (i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&bj);
if (bj==1)
{
scanf("%d%d%d",&l,&r,&x);
update(l,x);
update(r+1,-x);
}
else
{
scanf("%d",&x);
printf("%lld
",get(x));
}
}
return 0;
}
3.区间修改，区间查询
这个也是线段树最麻烦的地方，通常100行起步，但树状数组就不用了，实测50行不到，而且我不压行
先看一下如果按照问题2的方法来求区间前缀和，要怎么求
位置(x)的前缀和=(sum_{i=1}^xsum_{j=1}^id_j)，发现在这个式子里，(d_1)被计算了(x)此，(d_2)被计算了(x-1)次……，(d_x)被计算了1次。那么这个式子就可以转化为
(sum_{i=1}^xd_i imes(x-i+1)=(x+1)sum_{i=1}^xd_i-sum_{i=1}^xd_i imes i)
其中(x+1)是给出的，那么我们记录(d_i)和(d_i imes i)就可以了
维护两个数组(sum1)和(sum2)，分别记录(d_i)和(d_i imes i)
修改
(sum1)同问题2的(d)，(sum2)也类似，(l)加上(l imes x)，(r+1)减去((r+1)x)
查询
单点(x)的前缀和就是((x+1) imes sum1)中(x)的前缀和-(sum2)中(x)的前缀和，区间([l,r])的值就是(r)的前缀和-(l-1)的前缀和
题目
Code
#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,m,i,l,r,x,bj,a[1000005],c1[1000005],c2[1000005];
long long lowbit(long long x)
{
return x&(-x);
}
void update(long long k,long long x)
{
long long i;
for (i=k;i<=n;i+=lowbit(i))
{
c1[i]+=x;
c2[i]+=x*k;
}
}
long long get(long long x)
{
long long i,ans;
ans=0;
for (i=x;i;i-=lowbit(i))
ans+=((x+1)*c1[i])-c2[i];
return ans;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&a[i]);
update(i,a[i]-a[i-1]);
}
for (i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%lld",&bj);
if (bj==1)
{
scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&x);
update(l,x);
update(r+1,-x);
}
else
{
scanf("%lld%lld",&l,&r);
printf("%lld
",get(r)-get(l-1));
}
}
return 0;
}
小结
线段树与树状数组有很多相似的地方，但是树状数组很明显的优势就是短，但是线段树可以处理很多种情况，而这里面有些是树状数组做不到的，所以说不论是线段树还是树状数组，我们都应该学习一下，然后选择更好的去解决题目。
不定时更新高阶操作