7366. 【2021.11.10NOIP提高组联考】可怜的木偶

Description

可怜的木偶在数轴上表示 (k !) 的点上，她有 (n) 个虚幻的袋鼠，她可以使用第 (i) 个虚幻的袋鼠让自己向前 或向后移动 (a_{i}) 的距离，但她必须时刻保证自己的坐标为正整数，在这种规则下可怜的木偶的坐标最小值 为使用任意多次虚幻的袋鼠能达到的最小坐标。

但是你考虑这样一件事情，就是说：可悲的天使愤怒地爬来爬去着。所以每个 (a_{i}) 都是在 ([1, k]) 内等概率 随机的 (注: 对于第 (i) 个虚幻的袋鼠， (a_{i}) 是在一开始随机的，而不是对于每次使用随机)。

现在可怜的木偶想知道自己期望的坐标最小值，对 (998244353) 取模，如果你不能立刻求出来，那么残 酷的智慧就会被残酷的袋鼠所无知地遗弃。这真的是伟大的啊！！！

(1le nle 10^9,1le kle 10^6)。

Solution

注意到起点为 (k!)，这意味着我们一定可以走到 0。

那么这个题目就转换成了期望 (gcd)。

设 (f_x) 表示 (gcd) 恰好为 (x)，(g_x) 表示 (x|gcd)。

就有

(g_x=sum_{x|d} f_d)

可以莫反得到

(f_x=sum_{x|d} mu(frac{d}{x}) g(d))

(f_x=sum_{x|d} mu(frac{d}{x})lfloorfrac{k}{d} floor^n)

答案就是 (frac{sum^n_{i=1}i imes f(i)}{k^n})。

(k^n) 先不管，想一下上面怎么再优化一下。

我们把他展开一下得到

(sum_{d1=1}^ksum_{d2=1}^{lfloorfrac{k}{d1} floor} mu(d2)lfloorfrac{k}{d1 imes d2} floor^n)

这里我们枚举 (d1 imes d2)，得到

(sum_{i=1}^klfloorfrac{k}{i} floor^nsum_{j|i}j imes mu(frac{i}{j}))

而 (sum_{j|i}j imes mu(frac{i}{j})) 可以用狄利克雷卷积变成 (varphi(i))。

因此最后的答案就是

[frac{sum_{i=1}^klfloor{frac{k}{i}} floor^nvarphi(i)}{k^n} ]

Code

#include<cstdio>
#define mod 998244353
#define ll long long
using namespace std;
int prt,pri[1000005],phi[1000005],T;
ll n,k,ans,sum;
ll ksm(ll x,ll y)
{
	ll res=1;
	while (y)
	{
		if (y&1) res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	freopen("dance.in","r",stdin);
	freopen("dance.out","w",stdout);
	phi[1]=1;
	for (int i=2;i<=1000000;++i)
	{
		if (!phi[i])
		{
			pri[++prt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for (int j=1;j<=prt;++j)
		{
			int x=i*pri[j];
			if (x>1000000) break;
			if (i%pri[j]==0)
			{
				phi[x]=phi[i]*pri[j];
				break;
			}
			phi[x]=phi[i]*(pri[j]-1);
		}
	}
	scanf("%d",&T);
	while (T--)
	{
		scanf("%lld%lld",&n,&k);
		sum=0;
		for (int i=1;i<=k;++i)
			sum=(sum+ksm((k/i),n)*phi[i]%mod)%mod;		
		ans=sum*ksm(ksm(k,n),mod-2)%mod;
		printf("%lld
",ans);
	}
	return 0;
}