今天的算法实验课是关于最长上升子序列的，总结一下。
概念
首先需要知道，子串和子序列的概念，我们以字符子串和字符子序列为例，更为形象，也能顺带着理解字符的子串和子序列：
- 字符子串指的是字符串中连续的n个字符，如abcdefg中，ab，cde，fg等都属于它的字串。
- 字符子序列指的是字符串中不一定连续但先后顺序一致的n个字符，即可以去掉字符串中的部分字符，但不可改变其前后顺序。如abcdefg中，acdg，bdf属于它的子序列，而bac，dbfg则不是，因为它们与字符串的字符顺序不一致。
知道了这个，数值的子序列就很好明白了，即用数组成的子序列。这样的话，最长上升子序列也很容易明白了，归根结底还是子序列，然后子序列中，按照上升顺序排列的最长的就是我们最长上升子序列了。
最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence），简称LIS，也有些情况求的是最长非降序子序列，二者区别就是序列中是否可以有相等的数。假设我们有一个序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们也可以从中得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1<=i1<i2<…<iK<=N，但必须按照从前到后的顺序。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，我们就会得到一些上升的子序列，如(1,7,9), (3,4,8), (1,3,5,8)等等，而这些子序列中最长的（如子序列(1,3,5,8)），它的长度为4，因此该序列的最长上升子序列长度为4。
还有一个非常重要的问题：请大家用集合的观点来理解这些概念，子序列、公共子序列以及最长公共子序列都不唯一，但很显然，对于固定的数组，虽然LIS序列不一定唯一，但LIS的长度是唯一的。再拿我们刚刚举的栗子来讲，给出序列 ( 1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，易得最长上升子序列长度为4,这是确定的，但序列可以为 ( 1, 3, 5, 8 ), 也可以为 ( 1, 3, 5, 9 )。
例子
输入： 2 3 6 1 7 4 10 8 9
设maxlength[i]存储以第i个元素结束的子问题最长上升子序列的长度
| 子问题（数组的每一位遍历） | maxlength 元素值 |
|---|---|
| 子问题：2 | maxlength[1]=1 初值 |
| 子问题：2 3 | maxlength[2]= maxlength[1]+1 |
| 子问题：2 3 6 | maxlength[3]= maxlength[2]+1 |
| 子问题：2 3 6 1 | maxlength[4]= 1 |
| 子问题：2 3 6 1 7 | maxlength[5]= maxlength[3]+1 |
| 子问题：2 3 6 1 7 4 | maxlength[6]= maxlength[2]+1 |
| 子问题：2 3 6 1 7 4 10 | maxlength[7]= maxlength[5]+1 |
| 子问题：2 3 6 1 7 4 10 8 | maxlength[8]= maxlength[5]+1 |
| 子问题：2 3 6 1 7 4 10 8 9 | maxlength[9]= maxlength[8]+1 |
代码
#include <iostream>
using namespace std;
void LISLength(int a[], int n) {
int *maxlength = new int[n]; // 定义一个存储到每一位元素为止的最长子序列长度的动态数组
*(maxlength+0) = 1; // 设置第一个元素的值为1，及最小时为1
int max = 1; // 保存最大最长子序列长度，初始化为1，及最小为1
// 遍历每一位元素，保存到每一位元素前的最长子序列长度
for (int i = 1; i < n; i++) {
int max_t = 0; // 初始化每一次的最长子序列长度
// 当前元素与之前元素的比较
for (int j = 0; j < i; j++) {
// 当遍历元素大于其前面的此元素，且大于遍历过的最长子序列长度时
if (a[i] > a[j] && *(maxlength+j) > max_t) {
max_t = *(maxlength + j); // 更新最长子序列长度
*(maxlength + i) = *(maxlength + j) + 1; // 到该遍历元素的最长子序列长度
}
// 当遍历元素小于前面所有的元素时，设置到该遍历元素的最长子序列长度 为 1
else if(max_t == 0 && j == i -1)
{
*(maxlength + i) = 1;
}
}
// 更新最长子序列长度值
if (*(maxlength + i) > max)
max = *(maxlength + i);
}
cout << "最长子序列长度：" << max << endl;
delete[] maxlength; // 销毁动态数组
}
int main() {
int n = 0;
cout << "请输入数组大小：" << endl;
cin >> n;
int* arr = new int[n]; // 定义动态数组
cout << "请输入数据：" << endl;
// 输入数组数据
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> *(arr+i);
}
LISLength(arr, n);
delete[] arr; // 销毁动态数组
return 0;
}
效果
