上下界网络流

上下界网络流

0x00 前言

• 这又是一个大坑，有必要填上，学会了可以暴力建图，省去一些繁琐的构思

0x01 什么是上下界网络流

• 这里我们把网络流分为几种情况：有无源汇，只要求可行或最大或最小，有无费用，是否有下界
• 有源汇网络流：除了一个S（源）流出量没有限制和一个T（汇）流入量没有限制，其他节点必须满足流量守恒
• 无源汇网络流：所有点都必须满足流量守恒
• 可行流：是否存在一种流量的方案似的网络流满足流量守恒的条件
• 最大流：满足流量守恒条件下最大的流量，最小流类似
• 费用流：满足一定条件（最大流，最小流）下费用最大或最小
• 普通的网络流有一个上界，即每条边最多流量是给定的。上下界网络流同时给出了下界，即一些边的流量要求至少为一个值
• 显然可行流总是得和上下界放在一起，不然一个流量为0的方案总是可行的
• 上下界网络流一般用于求解各种有上下界网络流问题（废话）

0x02 做一些定义

• N：整个网络
• p：一个节点
• e：一条边
• S：源
• T：汇
• low_in[p],low_out[p]：p的下界流入和流出量（所有入边流量的下界和，所有出边流量的下界和）
• free_in[p],free_out[p]：p除了下界流量之外的流入和流出量
• lower[e],upper[e]：e的下界和上界
• SS：超级源
• TT：超级汇

0x03 从最简单的开始——无源汇可行流

• 假设这个网络叫N
• 上界的问题我们是身经百战，见得多了，但是下界没怎么碰到过
• 但是为什么从无源汇开始呢？不是有源汇的问题我们更熟悉么？
• 你要是问我能不能在有下界的图里直接增广，那我明确地告诉你：你们这样是不行的。
• 不管是dinic，最高标什么乱七八糟的网络流算法都无法求解有下界的网络流
• 我们只能考虑对图做一些变换，把下界去掉
• 显然的一种想法是先给条边强制流上lower[e]的流量，剩下upper[e]-lower[e]的流量是自由的，即让每条边的流量变为new_lower[e]=0,new_upper[e]=upper[e]-lower[e]，我们把这个改过的网络叫做N'
• 想法很显然，正确性也很显然，是错的
• 为什么呢？因为这么一搞不能保证流量守恒了。
• 我们考虑这点p流量守恒的表达式
• low_in[p]+free_in[p]=low_out[p]+free_out[p]
• 事实上我们把low_in,low_out这部分删去了，这会导致流量不平衡
• 这并不难解决，我们新建SS和TT，对于每一条边<u,v>，下界为lower，我们拆成从SS向v连容量为lower的边，从u向TT连容量为lower的边
• 这易于理解，我们相当于把lower这一部分拆了出去
• 然后对N作上文所提到的变形
• 这里有一个简单的小优化，重新考虑p流量守恒的表达式
• low_in[p]+free_in[p]=low_out[p]+free_out[p]
• 稍作变形
• low_in[p]-low_out[p]=free_out[p]-free_in[p]
• 如果令 dlt=low_in[p]-low_out[p]
• 发现如果在N'中求出了一个可行流，p这个点在N中实际的流出比流入要多了dlt（假设dlt为正，负一会考虑）
• 从SS向p连一条流量为dlt的边。
• 如果dlt为负呢？说明这个点流入比流出多了，从这个点向TT连一条流量为-dlt的边
• 这相当于把原来的一些SS-p-TT的边合并了，减少了边的总数，容易得到这两个图的性质是等价的。
• 变形完后，从SS向TT做一次有源汇最大流，如果SS所有的流出边都满流，那么可行流就存在
• 为什么？
• 首先容易发现如果SS流出的边都满流了，那么流入TT的边肯定也都满流了（这两部分总流量是一样的，原因可以考虑N中一条边的下界对N'的影响）
• 考虑我们建图的过程，如果SS所有的流出边都满流了，那么说明：

1. 下界都被满足了
2. 所有点都满足流量守恒

• 好了呀，你还要怎么样嘛，这不就是我们要求的东西么
• 最后每条边的实际流量就是它的反向边流量加上 下界流量

0x04 无源汇最大/最小流

• 给每条边加一个1的费用
• 用下面提到的无源汇上下界费用流做

0x05 有源汇最大流

• 这妙极了，看到这的读者不妨先自行思考一番，我们能否套用刚才求解无源汇可行流的方法？
• 我们给T->S加一条容量为[0,INF]的边E！
• 这样就变回了一个求解可行流问题，做一遍可行流
• 此时E的流量就是S->T的当前流量C1（考虑一下为什么），但是C1不一定是最大流，简单想个例子就可以得出这个结论
• 我们把E删去，再在N'的残量网络中做一次从S到T的增广（不是SS到TT！），设增广的流量为C2，总的最大流就是C1+C2，由于在残量网络中增广不改变流量守恒性质，这个算法的正确性是显然的

0x06 有源汇……最小流？

• 有了下界就有了求最小流的坑爹问题
• 有个显然的想法，先加T->S的INF边求可行流C1，然后C1是不是最小流呢？
• 并不是，这里请读者自行举例以加深对此的理解，给个提示：考虑图中的成环流量
• 然而我们可以在残量网络中退流
• 把INF边删了，从T向S跑一遍最大流，流量为C2，C1-C2即为最小流
• 正确性和上面一样啦

0x07 无源汇费用流！

• 老样子，先求一个可行流？
• 这里构图的时候遇到了点麻烦，边有费用，而且费用不一样，如果用优化版的构图方法无法合并一个点的出边和入边
• 只好每条边都拆成单独的两条边了
• 每条边的费用呢？费用会被算两次耶？选一条边加费用咯，任性，我喜欢选SS到v的边
• 然后直接从SS到TT跑费用流即可。
• 事实上我还YY了一个愚蠢的方法，有兴趣的读者可以尝试一下
• 先在图中求一个可行流，然后运用消圈算法优化答案
• 消圈算法：用spfa在图中找负/正环
• 推荐做一下bzoj3876支线剧情，codevs上的支线剧情真坑爹，时限只有2s，相比之下bzoj有10s