「笔记」线性代数

学了一下线性代数。
略作了解吧算是。

一、矩阵

1.定义：(A)表示一个有(n)行(m)列个数的矩阵。

(n=m)时也可称作方阵。

2.线代中的矩阵乘法

定义乘法符号为(*)

[C=A*B ]

[c_{ij}=sumlimits_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j} ]

3.单位矩阵

不同的矩阵乘法定义出不同单位矩阵。
线代中的就是对交线为1，其余均为0的矩阵，称为(I)。

4.各种定义

(fr).(A^T)表示(A)的转置，相当于交换行列进行翻转。
同时有：$$AB=C ightarrow A^TB^T=C^T$$
(se).(A^{-1})表示矩阵(A)的逆矩阵,有(A*B=I)。
求法：对(A)消元，同时对(I)进行同样的初等行列变换，最终(A ightarrow I),(I ightarrow A^{-1})

二、行列式

1.定义：

定义一个方阵(A={a_{ij}})的行列式为(left|a_{ij} ight|)。
设一个长度为(n)的序列的排列为({p_i}),其逆序对个数为(sigma(p))。
行列式的值为：

[left|a_{ij} ight|=sumlimits_{p}(-1)^{sigma(p)}prodlimits_{i=1}^{n}a_{ip_i} ]

上三角行列式的值为：

[prodlimits_{i=1}^{n}a_{ii} ]

2.性质

然后就是几个性质：
(fr).行列互换不改变行列式的值
代入定义可以验证。
(se).交换两行/列，行列式的值取反。
证明：
引理：对于一个排列(p),交换两个位置，逆序对个数奇偶性取反。
假设我们交换的(a,b)是相邻的。
那么：(a<b)时逆序对+1，(a>b)时，逆序对-1，奇偶性必然改变。
现在的情况是有可能不相邻，那么可以认为是(a)右移，而(b)左移。
发现这个过程中，交换的次数一定是奇数次。
那么奇偶性改变的次数是奇数次，那么整个排列的逆序对奇偶性必然改变。
引理得证。
那么我们交换两行(i,j)其实就是相当于交换了(p_i)和(p_j)，也就是说(prod)后边的部分的值不改变。
所以改变的部分只有(sigma(p))，这会使得(-1)的正负取反，那么行列式的正负随之取反。
得证。
(th).将行列式的一行/列乘上常数(c)，行列式的值也乘上(c)。
代入定义可以验证。
(fo).将行列式的一行加到另一行上，行列式的值不变。
（抄一下大神风月马前卒的证明）
证明：
引理1：两行相同的行列式，值为0
行列式的每一项都存在一项值和他相反，因为交换(p_i,p_j)是只改变行列式的正负。
引理2：行列式的某一行(a_i=b_i+c_i)，我们可以只改变这一行，
使得：(left|C ight|=left|A ight|+left|B ight|)
那么：对于两行(a,b),我们相当于加出了一个(c)出来。
也就是说变换之后的值(left|C ight|=left|A ight|+left|B ight|)
这样的话，(A)中的存在两行是一样的，所以(left|A ight|=0)。
而我们的(B)相当于是原方阵,而(left|C ight|=left|B ight|)
所以行列式的值不变。
也就是说，
对于行列式做初等行变换不会使得行列式的值发生变化，那么我们用高斯消元把方阵消成上三角即可求行列式的值了。

三、拉普拉斯展开

1.余子式：

设(M_{ij})为方阵(A)删掉第(i)行第(j)列后剩余的矩阵,也称作余子式。

2.伴随矩阵：

设一个矩阵(A)代数余子式为((-1)^{i+j}M_{ij})
那么伴随矩阵(A^{*})的每个位置上是这个位置的代数余子式。
如何求伴随矩阵呢？
有这样一个结论：

[A^{*}=left(frac{A^{-1}}{|A|} ight)^{T} ]

这样的话可以用矩阵求逆来求伴随矩阵

3.拉普拉斯展开：

[forall iin[1,n],|A|=sumlimits_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij} ]

不证了太难证了。
这相当于是求行列式的递归形式。
有什么用呢？
这可以让我们求出伴随矩阵之后，任意的修改矩阵的某一行然后(O(n))的算出矩阵的行列式。

四、矩阵树定理(参考露迭月)

1.基尔霍夫矩阵

对于一个无自环无向图(G)。
设：

[D(G)= egin{cases}d_j&,i=j\ 0&,i ot=jend{cases}]

[A(G)=E(G) ]

那么基尔霍夫矩阵(K(G)=D(G)-A(G))
(|K(G)|=0)
发现行和为0，消元作初等行变换，而由于行和均为0，所以不改变行和，那么(K(G)_{nn})必然为0，行列式也为0。

2.矩阵树定理

一个无自环无向图(G)，设其余子式为(M_{ij})。
其生成树个数为：(left|M_{ij} ight|)

五、特征多项式

1.Cayley−Hamilton定理

对于一个(n)阶方阵(A)，其特征多项式为：

[F(lambda)=|lambda I-A|=lambda^n+sumlimits_{i=0}^{n-1}a_{n-i}lambda^i ]

不会证（bushi）。

2.求特征多项式

我们得到的特征多项式有n项，我们只需要得到n+1个点值即可。
每次代入不同的(lambda)然后消行列式得到点值，然后用拉格朗日插值插出这个多项式即可。

六、常系数齐次线性递推