「SOL」礼物(BZOJ)

写了个 TODO List，现在不会忘写博客了
咕

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# 题面

> Link DarkBZOJ 2142

(n) 件不同的礼物送给 (m) 个人，其中送给第 (i) 个人礼物数量为 (w_i)。计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，输出模 (P) 后的结果。

设 (P=p_1^{c_1}p_2^{c_2}cdots p_t^{c_t})，(p_i) 为质数，则保证 (p_i^{c_i}le10^5)。

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# 解析

普通的 Lucas 定理只能用来求组合数模较小的素数的问题。

(部分) Lucas 定理

$$ inom{n}{m}mod p=inom{lfloor frac{n}{p} floor}{lfloor frac{m}{p} floor}inom{nmod p}{mmod p}mod p $$

（但是似乎不是完整的 Lucas 定理？）

而 exLucas 定理可以解决 (p) 不是一个质数的问题（只要满足「BZOJ 礼物」这道题对 (p) 的限制即可）。

首先对 (p) 进行质因数分解 (p=prodlimits_{i=1}^tp_i^{c_i})，设 (x=inom{n}{m}mod p)，(x_i=inom{n}{m}mod p_i^{c_i})，则

[egin{cases} xequiv x_1pmod{p_1^{c_1}}\ xequiv x_2pmod{p_2^{c_2}}\ cdots\ xequiv x_tpmod{p_t^{c_t}} end{cases} ]

模数互质，可以直接CRT。所以问题转化为「组合数模一个质数的幂 (p^k)」。

把组合数的式子展开 (inom{n}{m}=frac{n!}{m!(n-m)!})，我们不能直接求 (m!) 和 ((n-m)!) 的逆元，因为它们不一定和 (p) 互质。于是想到，可以先把阶乘中 (p) 的因子部分提出来，剩下的与 (p) 互质的部分就可以求逆元。即

[m!=p^acdot b ]

其中 (p otmid b)，((n-m)!) 同理。于是剩下的问题就是怎么将阶乘分解成上述形式。

考虑计算 (a)：统计 (1,2,cdots,m) 中能提取出多少 (p) 的因子。比较简单，只需要对每个 (p) 的幂 (p^i) 统计 (1sim m) 中有多少 (p^i) 的倍数。可以 (O(log_p m)) 完成。

再考虑计算 (b)，可以递归计算：

• 先计算出 (1sim m) 中所有非 (mathbf{p}) 的倍数的数之积模 (p^k)；
• 再将 (p) 的倍数单独提出来，除以 (p) 后即为 (1simlfloor frac{m}{p} floor)，递归处理。

可以先预处理出 (f_i) 表示 (1sim i) 中所有不为 (p) 的倍数的数的积模 (p^k)，则第一步的答案为

[f_{p^k-1}^{lfloorfrac{m}{p} floor}cdot f_{mmod p^k} ]

现在就可以快速计算组合数了。

对于这道题，可以直接拆开组合数，计算

[frac{n!}{w_1!w_2!cdots w_m!(n-w_1-w_2-cdots-w_m)!} ]

然后直接用 exLucas 的拆解阶乘的方法，再用CRT合并（就不需要真的去计算每个组合数）。

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# 源代码

点击展开/折叠代码

/*Lucky_Glass*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long llong;
const int N=100,B=1e5+10;
#define con(type) const type &
int mul(con(int)a,con(int)b,con(int)mod){return int(1ll*a*b%mod);}
int ina_pow(con(int)a,con(llong)b,con(int)mod){return b?mul(ina_pow(mul(a,a,mod),b>>1,mod),(b&1)?a:1,mod):1;}
typedef pair<int,llong> pii;

int p[N],pc[N],fac[B],phi[N];
llong rem[N],w[N],mod;
int n,m,np;

void init(){
	llong now=mod;
	for(int i=2;1ll*i*i<=now;i++)
		if(now%i==0){
			p[++np]=i,pc[np]=1;
			while(now%i==0) now/=i,pc[np]*=i;
		}
	if(now>1) np++,p[np]=pc[np]=(int)now;
	for(int i=1;i<=np;i++) rem[i]=mod/pc[i],phi[i]=pc[i]/p[i]*(p[i]-1);
}
pii calc(con(llong)x,con(int)p0,con(int)pc0){
	if(x<p0) return make_pair(fac[x],0);
	pii res=calc(x/p0,p0,pc0);
	return make_pair(mul(mul(res.first,fac[x%pc0],pc0),ina_pow(fac[pc0-1],x/pc0,pc0),pc0),res.second+x/p0);
}
int func(int p0,int pc0,int phi0){
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<pc0;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i%p0?i:1,pc0);
	pii up=calc(n,p0,pc0);
	fac[pc0-1]=ina_pow(fac[pc0-1],phi0-1,pc0);
	for(int i=pc0-2;i;i--)
		fac[i]=mul(fac[i+1],(i+1)%p0?i+1:1,pc0);
	pii blw(1,0);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		pii res=calc(w[i],p0,pc0);
		blw.second+=res.second;
		blw.first=mul(blw.first,res.first,pc0);
	}
	return mul(mul(up.first,blw.first,pc0),ina_pow(p0,up.second-blw.second,pc0),pc0);
}
int main(){
	scanf("%lld%d%d",&mod,&n,&m);
	init();
	llong total=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%lld",&w[i]);
		total+=w[i];
	}
	if(total>n){printf("Impossible
");return 0;}
	if(total<n) w[++m]+=n-total;
	llong sum=0;
	for(int i=1;i<=np;i++){
		llong now=mul(func(p[i],pc[i],phi[i]),ina_pow(rem[i],phi[i]-1,pc[i]),mod);
		now=mul(now,rem[i],mod);
		sum=(sum+now)%mod;
	}
	printf("%lld
",(sum%mod+mod)%mod);
	return 0;
}

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THE END

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史书缺失的那页
遗忘了主角
有人传说这一切
如流光幻夜

——《流光幻夜》By 司夏

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