「SOL」Quick Tortoise (Codeforces)

只能说没想到

---

题面

给出一个 (n imes m) 的网格图，每个格子要么是空地要么是障碍。

给出 (q) 个询问，每次给出 ((sx, sy),(ex,ey))，问从 ((sx,sy)) 出发，只能向下或向右走，能否到达 ((ex,ey))。

数据规模：(n,mle500)，(qle6 imes10^5)。

---

解析

只能向右或向下走就保证了转移无环，由此联想到另一道题（忘了具体哪道题了）：用线段树维护从 ((l,i)) 到 ((r,j)) 的路径信息。该题主要利用了两条路径比较容易合并的性质。

这道题不涉及修改，不需要线段树，可以直接猫树分治。

将询问离线，每次处理横坐标跨过区间中点的询问。对区间 ([l,r]) 只需要预处理 ((p,i) o(mid,k))（(pin[l,mid])）的连通性和 ((mid,k) o(q,j))（(qin[mid,r])）的连通性即可。

询问只需要判断是否存在 (k) 使得路径 ((sx,sy) o(mid,k) o(ex,ey)) 合法。

可以用 bitset 优化 —— 储存 ((p,i)) 向右下走能到达 (x=mid) 的哪些点，以及 ((q,j)) 向左上走能到达 (x=mid) 的哪些点。查询可以一次 bitset 求交集。

复杂度 (mathcal{O}(frac{n^3log n+nq}{w}))。

---

源代码

/* Lucky_Glass */
#include <bitset>
#include <cstdio>
#include <cassert>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define CON(typ) const typ &

const int N = 505, M = 6e5 + 10;

int rin(int &r) {
  int c = getchar(); r = 0;
  while (c < '0' || '9' < c) c = getchar();
  while ('0' <= c && c <= '9') r = r * 10 + (c ^ '0'), c = getchar();
  return r;
}

int n, m, qry_cnt;
char maz[N][N];
int qry[M][4], qry_id[M], tmp_id[M];
bool ans[M];
std::bitset<N> dp[N][N], dp_rev[N][N];

void solve(CON(int) xl, CON(int) xr, CON(int) ql, CON(int) qr) {
  if (ql > qr) return;
  assert(xl <= xr);
  int mi = (xl + xr) >> 1;

  for (int j = m; j; --j)
    if (maz[mi][j] == '.') dp[mi][j] = dp[mi][j + 1], dp[mi][j].set(j, 1);
    else dp[mi][j] = 0;
  for (int i = mi - 1; i >= xl; --i)
    for (int j = m; j; --j)
      if (maz[i][j] == '.') dp[i][j] = dp[i + 1][j] | dp[i][j + 1];
      else dp[i][j] = 0;
  
  for (int j = 1; j <= m; ++j)
    if (maz[mi][j] == '.') {
      dp_rev[mi][j] = dp_rev[mi][j - 1], dp_rev[mi][j].set(j, 1);
    } else {
      dp_rev[mi][j] = 0;
    }
  for (int i = mi + 1; i <= xr; ++i)
    for (int j = 1; j <= m; ++j)
      if (maz[i][j] == '.') dp_rev[i][j] = dp_rev[i - 1][j] | dp_rev[i][j - 1];
      else dp_rev[i][j] = 0;
  
  int qll = ql - 1, qrr = qr + 1;
  for (int i = ql; i <= qr; ++i)
    if (qry[qry_id[i]][0] <= mi && mi <= qry[qry_id[i]][2]) {
      int *now = qry[qry_id[i]];
      ans[qry_id[i]] = (dp[now[0]][now[1]] & dp_rev[now[2]][now[3]]) != 0;
    } else if (qry[qry_id[i]][0] > mi) {
      tmp_id[--qrr] = qry_id[i];
    } else {
      tmp_id[++qll] = qry_id[i];
    }
  for (int i = ql; i <= qll; ++i) qry_id[i] = tmp_id[i];
  for (int i = qrr; i <= qr; ++i) qry_id[i] = tmp_id[i];

  solve(xl, mi - 1, ql, qll);
  solve(mi + 1, xr, qrr, qr);
}
int main() {
  rin(n), rin(m);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%s", maz[i] + 1);
  rin(qry_cnt);
  for (int i = 1; i <= qry_cnt; ++i) {
    rin(qry[i][0]), rin(qry[i][1]), rin(qry[i][2]), rin(qry[i][3]);
    qry_id[i] = i;
  }

  solve(1, n, 1, qry_cnt);

  for (int i = 1; i <= qry_cnt; ++i)
    printf("%s
", ans[i] ? "Yes" : "No");
  return 0;
}

---

THE END

Thanks for reading!

历过沧海的变迁
再难为江河的涡旋
我寻找着 沉默的桑田 坎坷万千
眺望过巫山之巅
再不是浮云的翩跹
我寻找着 属于我的那片云烟
在下个时刻出现

——《巫山云》By Snapmod / 诗岸

Link 巫山云 - 网易云