【例题收藏】◇例题·II◇ Berland and the Shortest Paths

◇例题·II◇ Berland and the Shortest Paths

题目来源：Codeforce 1005F +传送门+

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◆ 简单题意

给定一个n个点、m条边的无向图。保证图是连通的，且m≥n-1。

以首都（1节点）为根节点生成最小树。树的值定义为每个节点的深度和（根节点深度0）。举个例子：

而我们知道，可能有多种情况使树的权值最小，题目给出了一个整数k，如果最小树的生成方案数为ans，当 ans≤k 时，将 ans 种方案全部输出；当 ans>k 时，任意输出 k 种不同生成方案即可。输出方案格式为一个01串，第i个字符如果为0，表示不选第i条边（按照输入顺序），1为选择第i条边。

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◆ 解析

其实点 i 的深度 dep[i] 就是根节点1到 i 的路径，而我们知道 1 到 i 没有任何一条路径短于它们的最短路径，所以生成树的权值最小时，根节点到每个点的距离就是原图中根节点到每个节点的最短路径。也就是说，我们生成的最小树就是一个最短路径树。然而显然有时候存在多条最短路径，这也就造成了我们生成的最小树有多种解。于是我们假装生成一棵树，实际上只是生成一个图。

由于这道题的边权都是等价的（不如就把边权看成1吧），我们可以用BFS直接求得最短路，所以说其实这也是一个BFS序图。为了考虑每种情况，我们把所有最小的BFS序边连上。下面再举一个生成BFS序图的例子（希望入门reader可以理解）：

这样我们就生成了一个BFS序有根图，由于我们要生成树，而树的每一个节点的父节点少于一个。在上图中，4的父节点有两个，因此需要断开一条边——两条边是等价的，断掉任意一条即可。

我们可以把 u→v 的边存入v的边集 min_edg[v] ，那么最小权值树则是对于每一个除根节点之外的 v，选择 min_edg[v] 中的任意一条边，所以方案总数为 （除去根节点 i:2~n）min_edg[v]的边数之积。最后再DFS递归求方案即可（具体见代码）。

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◆ 源代码

/*Lucky_Glass*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN=int(2e5);
const int INF=int(1e9);
int n_pnt,n_edg,k;
int dis[MAXN+5];
vector<pair<int,int> > lnk[MAXN+5];
vector<pair<int,int> > min_edg[MAXN+5];
void BFS(int start)
{
    fill(dis,dis+MAXN+5,INF);
    dis[start]=0;
    queue<int> que;
    que.push(start);
    while(!que.empty())
    {
        int u=que.front();que.pop();
        for(int i=0;i<lnk[u].size();i++)
        {
            int v=lnk[u][i].first,id=lnk[u][i].second,Stp=dis[u]+1;
            if(Stp>dis[v]) continue;
            min_edg[v].push_back(make_pair(u,id));
            if(Stp!=dis[v])
                dis[v]=Stp,que.push(v);
        }
    }
}
bool chose[MAXN+5];int cnt;
void DFS(int v)
{
    if(v==n_pnt+1)
    {
        cnt++;
        for(int i=1;i<=n_edg;i++)
            printf("%d",chose[i]);
        printf("
");
        return;
    }
    for(int i=0;i<min_edg[v].size();i++)
    {
        chose[min_edg[v][i].second]=true;
        DFS(v+1);
        chose[min_edg[v][i].second]=false;
        if(cnt==k) return;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n_pnt,&n_edg,&k);
    for(int i=0,u,v;i<n_edg;i++)
        scanf("%d%d",&u,&v),
        lnk[u].push_back(make_pair(v,i+1)),
        lnk[v].push_back(make_pair(u,i+1));
    BFS(1);
    long long ans=1;
    for(int i=2;i<=n_pnt;i++)
    {
        ans*=min_edg[i].size();
        if(ans>k) break;
    }
    printf("%lld
",min(k*1ll,ans));
    DFS(2);
    return 0;
}

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The End

Thanks for reading!

- Lucky_Glass

（Tab：如果我有没讲清楚的地方可以直接在邮箱lucky_glass@foxmail.com email我，在周末我会尽量解答并完善博客~）