浅谈AC自动机

引入

我们发现(Trie)树可以进行多模式串匹配，(KMP)可以快速进行子串匹配，那么如果我们要进行多模式串子串匹配怎么办呢？这里我们就将介绍一个综合了(Trie)树和(KMP)的算法——(AC)自动机。

简述

上面已经提到了(AC)自动机就是(Trie)树和(KMP)的综合，如果还不会或者不熟悉这两种算法的话请移步初阶字符串算法。

我们首先要建出一棵(Trie)树来，和普通的(Trie)树一样的。

代码如下：

void insert(char *s){
    int p=0,len=strlen(s);
    for(int i=0;i<len;i++){
        int ch=s[i]-'a';
        if(!trie[p][ch])trie[p][ch]=++tot;
        p=trie[p][ch];
    }ed[p]++;
}

然后我们就需要和(KMP)一样构建失配指针，也就是(fail)指针。而与(KMP)算法不同的是(KMP)算法的(fail)指针是相同的前后缀，而(AC)自动机只需要相同后缀就可以了。

那么我们应该如何构建呢？我们同样也是利用已经求得的(fail)指针来推导出当前节点的(fail)指针。我们采用(BFS)的方式来实现这个过程。我们设现在的节点为(x)，它的父亲节点为(fa_x)，它和它的父亲之间通过字符为(ch)的边连接，且深度小于(x)的所有节点的(fail)指针都已经求得。

• 我们首先跳转到(fail[fa_x])节点
  • 如果(fail[fa_x])节点有一个子节点(y)是由该节点通过字符为(ch​)的边连接的
    • 让(x)的(fail)指针指向(y)，即(fail[x]=y)
  • 如果不存在这样的节点
    • 那么就跳转到(fail[fa_x])的(fail)指针指向的节点，即(fail[fail[fa_x]])，然后重复上述过程
    • 如果一直跳转到根节点依然没有满足条件的节点的话，就让(x)的(fail)指针指向根节点，即(fail[x]=root)

上述过程便是(fail)指针的构建过程了。

对于字符串集合({hers,his,she,i})构建出来的(fail)指针如下：

代码如下：

void make_fail(){
    queue<int >q;
    memset(fail,0,sizeof(fail));
    for(int i=0;i<26;i++)if(trie[0][i])q.push(trie[0][i]);
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=0;i<26;i++){
            if(trie[x][i]){
                fail[trie[x][i]]=trie[fail[x]][i];
                q.push(trie[x][i]);
            }else trie[x][i]=trie[fail[x]][i];
        }
    }
}

我们注意到上面的构建(fail)指针的代码中trie[x][i]=trie[fail[x]][i]这句话，为什么直接将(fail[x])的子节点直接赋给(x)了呢？其实这行代码和上面两行的fail[trie[x][i]]=trie[fail[x]][i]共同做了类似于并查集的“路径压缩”的事情，也就是使得本身可能要跳转很多次的(fail)指针变成只需要跳转一次，这个可以感性理解一下。

匹配函数的代码如下：

int query(char *s){
    int p=0,ret=0,len=strlen(s);
    for(int i=0;i<len;i++){
        int ch=s[i]-'a';p=trie[p][ch];
        for(int j=p;j&&~ed[j];j=fail[j])ret+=ed[j],ed[j]=-1;
    }return ret;
}

(p)就是当前在(Trie)树上的节点，然后利用(fail)指针来找出所有匹配的模式串。但是我们发现一个问题，p=trie[p][ch]这行代码告诉我们(p)似乎是不断向后跳的，并没有像(KMP)一样跳到失配指针指向的节点。但其实并不然，我们看一下之前的构造(fail)指针的代码，我们发现，我们其实是对(Trie)树进行了改造的。所以，我们并不是不断向后跳的，我们同样的实现了跳(fail)指针的操作。

以上便是(AC)自动机的构造失配指针和匹配过程。

总代码如下：

struct AC_automaton{
    int tot,ed[maxn],fail[maxn],trie[maxn][26];
    void insert(char *s){
        int p=0,len=strlen(s);
        for(int i=0;i<len;i++){
            int ch=s[i]-'a';
            if(!trie[p][ch])trie[p][ch]=++tot;
            p=trie[p][ch];
        }ed[p]++;
    }
    void make_fail(){
        queue<int >q;
        memset(fail,0,sizeof(fail));
        for(int i=0;i<26;i++)if(trie[0][i])q.push(trie[0][i]);
        while(!q.empty()){
            int x=q.front();q.pop();
            for(int i=0;i<26;i++){
                if(trie[x][i]){
                    fail[trie[x][i]]=trie[fail[x]][i];
                    q.push(trie[x][i]);
                }else trie[x][i]=trie[fail[x]][i];
            }
        }
    }
    int query(char *s){
        int p=0,ret=0,len=strlen(s);
        for(int i=0;i<len;i++){
            int ch=s[i]-'a';
            p=trie[p][ch];
            for(int j=p;j&&~ed[j];j=fail[j])ret+=ed[j],ed[j]=-1;
        }return ret;
    }
}AC;