快速幂
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介绍
所谓快速幂就是在可以在 $ O(log{k})$ 的时间复杂度内求得(x^k mod p)的结果。
我们知道常规的算法求幂需要 (O(k))的复杂度。
int res = 1; for(int i = 1; i <= k; i++) { res = res * a mod p; } -
核心思想：反复平方
首先，我们都知道任意一个十进制的数k都可以转换为(2^{i_1}+2^{i_2}+2^{i_3}+...+2^{i_t})这样的形式。
那么(a^k) 一定可以写成 (a^{2^{i_1}+2^{i_2}+2^{i_3}+...+2^{i_t}})这样的形式。
进而求解(a^k \% p) 实际上就是求((a^{2^{i_1}+2^{i_2}+2^{i_3}+...+2^{i_t}} )\% p)。
又由取模运算规则：
[(a+b)\%p = (a\%p + b\%P)\%p\(a-b)\%p = (a\%p - b\%P)\%p\(a*b)\%p = (a\%p * b\%P)\%p\a^b \% p = ((a \% p) ^b) \% p \....\ ]((a^{2^{i_1}+2^{i_2}+2^{i_3}+...+2^{i_t}} )\% p = (a^{2^{i_1}} * a^{2^{i_2}} *a^{2^{i_3}} *a^{2^{i_t}}) \% p = ..)
利用乘法的模运算规则，迭代即可。
所以关键的问题就是把k转换为(2^{i_1}+2^{i_2}+2^{i_3}+...+2^{i_t})这样的形式。
关于代码：一共迭代(log{k})次
[a^{2^0} quad mod quad p\ a^{2^1} quad mod quad p\ a^{2^2} quad mod quad p\ a^{2^3} quad mod quad p\ a^{2^4} quad mod quad p\ .\ .\ a^{2^{log{k}}} quad mod quad p ]其中显然可知：(a^{2^{i+1}}) = (a^{2^{i} * 2}) = (({a^{2^{i}}})^2)
代码模板
//a^k mod p int qmi(int a,int k, int p) { int res = 1; while(k) { if(k & 1) res = (LL)res * a % p; k >> 1; a = (LL)a * a % p; } return res; }