HDU2502 月之数 组合数

月之数

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Problem Description

当寒月还在读大一的时候，他在一本武林秘籍中（据后来考证，估计是计算机基础，狂汗-ing），发现了神奇的二进制数。
如果一个正整数m表示成二进制，它的位数为n（不包含前导0），寒月称它为一个n二进制数。所有的n二进制数中，1的总个数被称为n对应的月之数。
例如，3二进制数总共有4个，分别是4（100）、5（101）、6（110）、7（111），他们中1的个数一共是1＋2＋2＋3=8，所以3对应的月之数就是8。

 

Input

给你一个整数T，表示输入数据的组数，接下来有T行，每行包含一个正整数 n（1<=n<=20）。

 

Output

对于每个n ，在一行内输出n对应的月之数。

 

Sample Input

3 1 2 3

 

Sample Output

1 3 8

 

　　该题题义简单，是求一个二进制数的区间内，1的个数，不知到有木有更好的办法，写这道题时想到的就是一个组合问题。

　　比如要求一个4二进制数的月之数是多少，由于第一位必须为1，所以有多少个3位的二进制数，就有多少个高位1，后面的就是从N-1个里面选一个，两个...... 这样的组合数，在具体计算过程中还要考虑奇偶性。

　　代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;

long long mix( long long n, long long m )
{
    long long res = 1;
    for( long long i = 0; i < m; ++i )
    { // 一直用这个学来的方法来防止溢出
        res *= ( n - i );
        res /= ( i + 1 );
    }
    return res;
}

int main()
{
    int T;
    scanf( "%d", &T );
    while( T-- )
    {
        long long N, ans = 1;
        scanf( "%I64d", &N );
        for( long long i = 1; i <= N - 1; ++i )
        {
            ans <<= 1;
        }    
        if( ! ( N & 1 ) )
        {
            int lim = N / 2 - 1;
            for( long long i = 1; i <= lim; ++i )
            {
                ans += ( N - 1 ) * mix( N - 1, i );
            }
            ans += ( N - 1 );
        }
        else
        {
            int lim = ( N - 1 ) / 2;
            for( long long i = 1; i < lim; ++i )
            {
                ans += ( N - 1 ) * mix( N - 1, i );
            } 
            ans += ( N - 1 ) / 2 * mix( N - 1, ( N - 1 ) / 2 ); 
            ans += ( N - 1 ); 
        }
        printf( "%I64d\n", ans );
    }
    return 0;
}

　　突然想到用移位判定奇偶来统计1的个数，现在就去试试看。

　　上面的这种方法也能过，代码量下来了，但是速度慢了 78MS， 前面的是0MS。代码如下：

#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
using namespace std;

int main()
{
    int T;
    scanf( "%d", &T );
    while( T-- )
    {
        int N, beg = 1, end = 1, ans = 0;
        scanf( "%d", &N );
        for( int i = 1; i < N; ++i )
            beg <<= 1, end <<= 1;
        end <<= 1, end -= 1;
        for( int i = beg; i <= end; ++i )
        {
            int t = i;
            while( t > 0 )
            {
                if( t & 1 )
                    ++ans;
                t >>= 1;
            }
        }
        printf( "%d\n", ans );
    }
    return 0;
}

　　还有一种递推解法，个人觉得很好很强大。 代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;

int ans[22], base = 1;

int main()
{
    ans[1] = 1;
    for( int i = 2; i <= 20; ++i )
    {
        ans[i] = 2 * ans[i-1] + base;
        base <<= 1;
    }
    int T;
    scanf( "%d", &T );
    while( T-- )
    {
        int N;
        scanf( "%d", &N );
        printf( "%d\n", ans[N] );
    }
    return 0;
}