图论——迪杰斯特拉算法和最小生成树

前言

复习一下迪杰斯特拉算法，由于最小生成树的Prim算法与迪杰斯特拉算法极其类似，再顺便复习下最小生成树，顺便找两道水题验证代码正确性。

迪杰斯特拉算法

目的

该算法用于单源最短路，求一个图中，从起点S，到终点E的最短路径

思路

算法基于贪心思想，简单来讲就是两步：

• 找出起点距离其他点的最短距离中的最小的那个
• 用最小的来更新其他点的最短距离，更新完后舍弃

依我所见，迪杰斯特拉类似于排序，假设从起点到其他点的路径为边。

• 选出最短的边，通过最短的边来更新其他的边。
• 再通过第二短的边，更新其他的边。
• 整个过程就是从小到大依次找出从起点到其他点的最短边

题目

牛客网：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/17511

普通方法

先遍历顶点，再遍历该顶点到其他顶点的边，时间复杂度：(O(n^2))。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MAX 1005
using namespace std;
 
int mp[MAX][MAX],ans[MAX],n,m,s,t;
bool used[MAX];
 
void init(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
    memset(mp,0x3f,sizeof(mp));
    memset(ans,0x3f,sizeof(ans));
    memset(used,false,sizeof(used));
    ans[s] = 0;
    for(int i = 1;i <= m;i++){
        int x,y,v;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&v);
        mp[x][y] = mp[y][x] = min(mp[y][x],v);
        if (x == s) ans[y] = mp[x][y];
        else if (y == s) ans[x] = mp[x][y];
    }
}
int dijkstra(int start,int end){
 
    while(true){
        int min_edge = 0;
        for(int i = 1;i <= n;i++)//寻找从起点到其他点的路线中的最短路线
            if (!used[i]&&(!min_edge || ans[i] < ans[min_edge]))
                min_edge = i;
        //当找到终点时，可提前退出
        if (min_edge == end || !min_edge) break;
        used[min_edge] = true;
 
        for(int i = 1;i <= n;i++)
            ans[i] = min(ans[i],ans[min_edge]+mp[min_edge][i]);
    }
 
    return ans[end]==0x3f3f3f3f?-1:ans[end];
}
 
int main(){
    init();
    printf("%d
",dijkstra(s,t));
    return 0;
}

优先队列（堆）

m为边数，n为顶点数
先上结论，时间复杂度(O(m*logn))。

for(int i = 1;i <= n;i++)//寻找从起点到其他点的路线中的最短路线
    if (!used[i]&&(!min_edge || ans[i] < ans[min_edge]))
        min_edge = i;

显然，对于上面代码，可以使用优先队列（堆）来使得时间复杂度降为(O(logn))，但是！！！下面还有个for循环，所以本身时间复杂度还是(O(n^2))。

for(int i = 1;i <= n;i++)
    ans[i] = min(ans[i],ans[min_edge]+mp[min_edge][i]);

那么，可否把这里也改下呢？显然，我们不需要遍历所有的顶点，因为点到点不一定有边，这时候我们只需要遍历边即可，也就是把边存储起来，即使用邻接表。

总结一下，整个过程每个顶点可能遍历了多次，但其中只有一次需要遍历邻接的边，即所有边也只需要遍历一次（无向边就是两次），由于使用了堆，所以还需要加上用堆的时间复杂度，所以总的时间复杂度为(O(m*logn))

下面是代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MAX 1005
using namespace std;

int ans[MAX],n,m,s,t;//ans为起点到某一点的最短路线
vector<pair<int,int>> mp[MAX*10];//邻接表存储边，mp下标表示起点，pair第一个值表示长度，第二个值表示终点
void init(){
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
	memset(ans,0x3f,sizeof(ans));
	ans[s] = 0;
	for(int i = 1;i <= m;i++){
		int x,y,v;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&v);
		mp[x].push_back(make_pair(v,y));
		mp[y].push_back(make_pair(v,x));
	}
}
int dijkstra(int start,int end){

	priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int>>,greater<pair<int,int>> > p_que;
	p_que.push(make_pair(ans[start],start));//pair第一个值表示长度，第二个值表示顶点

	while(!p_que.empty()){
		pair<int,int> node = p_que.top();
		p_que.pop();
		if (node.first > ans[node.second]) continue;
		for(int i = mp[node.second].size()-1;i >= 0;i--){
			pair<int,int> temp = mp[node.second][i];
			if (ans[temp.second] > ans[node.second]+temp.first){
				ans[temp.second] = ans[node.second]+temp.first;
				p_que.push(make_pair(ans[temp.second],temp.second));
			}
		}
	}

	return ans[end]==0x3f3f3f3f?-1:ans[end];
}

int main(){
	init();
	printf("%d
",dijkstra(s,t));
	return 0;
}

最小生成树

目的

给定一个无向图

• 生成树：一个子图，其任意两点都能互通，且是棵树
• 最小生成树：边上有值，且所有边的和最小的生成树

思路

假设迪杰斯特拉算法是以一个点为起点，求该起点到其他所有点的最小值，那么，最小生成树的Prim算法则是以一个集合（有多个点）为起点，求该集合到其他所有点的最小值，并求和，步骤如下：

• 每次循环，找出集合与非集合的点中的最小边，假设这个点为(x)
• 集合加入(x)点，并遍历(x)与其他点的边，假设有一条边(edge[x][y]) < 集合到 (y) 的距离，则更新集合到(y)的距离
• 回到第一步

题目

牛客网：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/15108

代码

显然，可以跟迪杰斯特拉一样，使用堆进行优化，由于时间问题，只给出普通代码。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MAX 1005
using namespace std;
 
int mp[MAX][MAX],ans[MAX],c,n,m;
bool used[MAX];

int Prim(int start){//几乎和迪杰斯特拉算法一模一样
 	int len = 0;
    while(true){
        int min_edge = 0;
        for(int i = 1;i <= n;i++)//寻找从集合到其他点的路线中的最短路线
            if (!used[i]&&(!min_edge || ans[i] < ans[min_edge]))
                min_edge = i;
        //len >= 0x3f3f3f3f说明无法生成最小生成树，即图不连通
        if (!min_edge || len >= 0x3f3f3f3f) break;
        used[min_edge] = true;
 		len += ans[min_edge];//加上最小值
        for(int i = 1;i <= n;i++)
            ans[i] = min(ans[i],mp[min_edge][i]);//注意这里和迪杰斯特拉不同，也几乎是唯一的不同点
    }
 
    return len;
}
 
void init(int start){
	while(~scanf("%d%d%d",&c,&m,&n)){
	    memset(mp,0x3f,sizeof(mp));
	    memset(ans,0x3f,sizeof(ans));
	    memset(used,false,sizeof(used));
	    ans[start] = 0;
	    for(int i = 1;i <= m;i++){
	        int x,y,v;
	        scanf("%d%d%d",&x,&y,&v);
	        mp[x][y] = mp[y][x] = min(mp[y][x],v);
	    }
	    printf("%s
", Prim(1) <= c ?"Yes":"No");
	}
}
 
int main(){
    init(1);
    return 0;
}