Codeforces Round #554 (Div. 2) C. Neko does Maths （数论 GCD(a,b) = GCD(a,b-a)）

传送门

•题意

　　给出两个正整数 a,b；

　　求解 k ，使得 LCM(a+k,b+k) 最小，如果有多个 k 使得 LCM() 最小，输出最小的k；

•思路

时隔很久，又重新做这个题

温故果然可以知新❤

重要知识点

GCD(a,b)=GCD(a,b-a)=GCD(b,b-a) (b>a)

证明：

设GCD(a,b)=c

则a%c=0,b%c=0,(b-a)%c=0

所以GCD(a,b-a)=c

得GCD(a,b)=GCD(a,b-a)

gcd(a+k,b-a)肯定是(b-a)的因子

所以gcd(a+k,b+k)是(b-a)的因子，所以我们就枚举(b-a)的因子(把因子称为i）

使得 (a+k)为i的倍数

解出k,再判断lcm是否符合最小

注意这里枚举的i只是(a+k)和(b+k)的公约数，不一定是最大公约数gcd

两者的公约数得到的是公倍数  公倍数=a*b/公约数

如果是最大公约数的话两者的公倍数一定是最小，

这里是没有甄别是否是最大公约数而是简单的得到公约数，然后得到的是公倍数

在所有的公倍数中，最小公倍数是最小的

所以并不影响解最小公倍数的答案

例如：

12 30

12 30

公约数i=1    k=1   a+k=13   b+k=31   公倍数=403
公约数i=2    k=2   a+k=14   b+k=32   公倍数=224
公约数i=3    k=3   a+k=15   b+k=33   公倍数=165
公约数i=6    k=6   a+k=18   b+k=36   公倍数=108
公约数i=9    k=6   a+k=18   b+k=36   公倍数=72
公约数i=18  k=6   a+k=18   b+k=36   公倍数=36

最小公约数36，此时k=6

另外一个思路可以求最大公约数 然后求最小公倍数，看HHHyacinth的博客

•代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll a,b;
ll ans,lcm=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int main()
{
    cin>>a>>b;
    ll d=abs(a-b);
    for(ll i=1;i*i<=d;i++)
    {
        if(d%i==0)//枚举b-a的因数i
        {
            ll k=(i-a%i)%i;//把a凑成i的倍数需要+k
            ll t=(a+k)*(b+k)/i;// a*b/i得公倍数
            if(t<lcm)
            {
                lcm=t;
                ans=k;
            }

            ll ii=d/i;
            k=(ii-a%ii)%ii;
            t=(a+k)*(b+k)/ii;
            if(t<lcm)
            {
                lcm=t;
                ans=k;
            }
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
}