网络最大流之初见

•参考资料

[1]: 最大流入门

[2]: 算法讲堂

[3]: Dinic优化

•理解

通俗理解最大流就是在某个时间点从源点S到终点T流过的水的最大值

如图，最大流为9

①线路 S->3->T：可以流过$min(5,3)=3$,然后$S->3$还有$5-3=2$的剩余

②线路 S->1->2->T:可以流过$min(5,6,10)=5$,然后$1->2$还有$6-5=1$的剩余，$2->T$还有$10-5=5$的剩余

③线路S->3->1->2->T: 可以流过$min(2,3,1,5)=1$

最大流$=①+②+③=9$

•算法

将图分层，每一层都是按照不同方式的几条从原点到汇点的路径

利用bfs寻找所有的分层方法，分完层利用dfs去试探，找到所有分层方式中水流最大的一种

•优化

•  当前弧优化

　　　　对于一次 bfs() 后寻找增广路来说，如果询问了一条路的编号为 a 时，那么不再会通过这条路增广。

　　　　比如已经对$1->2->3$进行了增广，那在到$2$时，$2->3$已经不会增加流量了，所有可以直接略过 (一般用处不大...)

• 多路增广

　　　　dfs时一次找到该点u所有的增广路，用一个$flow$记录流向u的流量，用$nowflow$记录流出u的流量

　　　　$nowflow$的计算就需要通过u流向的点来计算。$nowflow$肯定是下于等于$flow$的，当$nowflow==flow$时可以直接$break$

　　　　在增广时对正向边和反向边操作有个小技巧，因为在加边时正向边和反向边是一起加入的一前一后，所以两条边是相邻的

　　　　正向边序号^1=反向边序号，反向边序号^1=正向边序号。前提是第一条边序号是偶数，所以向前星的下标从0开始的

• 炸点优化

　　　　如果当前 u 点伸展完后发现过这个点没有任何增广路被发现，即当前点$nowflow==0$ ，

　　　　则说明增广路不可能通过该点伸展，使得d[u] = -2，不再伸展这个点

•模板

最大流Dinic

•习题

网络流建模汇总