ADADELTA: AN ADAPTIVE LEARNING RATE METHOD

目录

• 引
• 主要内容
• 算法
• ADADELTA 代码

引

这篇论文比较短，先看了这篇，本来应该先把ADAGRAD看了的。普通的基于梯度下降的方法，普遍依赖于步长，起始点的选择，所以，受ADAGRAD的启发，作者提出了一种ADADELTA的方法。

[Delta x_t = -frac{mathrm{RMS}[Delta x]_{t-1}}{mathrm{RMS}[g]_t}g_t ]

其中(g_t=frac{partial f(x_t)}{partial x_t})，所以下一步迭代就是:

[x_{t+1} = x_t + Delta x_t ]

主要内容

ADAGRAD方法：

[Delta x_t = -frac{eta}{sqrt{sum_{ au=1}^t g_{ au}^2}}g_t ]

也就是，步长与之前所有的梯度有关，显然这个步长是会逐渐减少的。但是这个缺点也很明显，如果起始点的梯度很大，那么就会导致后续步长很小，而一开始的梯度很小，就会导致后续步长很大，产生振荡，有些怪怪的。
而ADADELTA希望只关心一部分的梯度，比如

[sqrt{sum_{ au=t-k}^tg_{ au}^2} ]

但是这么做，每次迭代都必须记录(k)个梯度，这显得不怎么效率，于是，作者相处了一个法子：

[E[g^2]_t = ho E[g^2]_{t-1} + (1- ho)g_t^2 ]

可以看到，对于(g_1)，(t+1)步之后其影响为：( ho^t(1- ho) g_1),对整个迭代造成的影响是一个等比序列：

[(1- ho), ho (1- ho), ldots, ho^t(1- ho) ]

最后趋向于：

[1- ho^{t+1} ightarrow1 ]

这么做就俩劝其美啦。
记：

[mathrm{RMS}[g]_t = sqrt{E[g^2]_t + epsilon} ]

其中(epsilon)是为了让除法有意义而添加的小量。
所以

[Delta x_t = -frac{eta}{mathrm{RMS}[g]_t}g_t ]

这还不是最终版本，另一个启发决定了(eta)的选择。

我们知道，很多问题是有实际含义的，(x)可能是有单位的，比如是米，天等，所以，一个很自然的期望是，(Delta x)的单位和(x)是保持一致的。但是：

[mathrm{units : of :}Delta x propto mathrm{units : of :} g propto frac{partial f}{partial x}propto frac{1}{mathrm{units : of :} x} ]

也就是说(Delta x)的步长单位和梯度单位是一致的，就像是(l=vt)，(Delta t)的步长单位是(m/s)，是时间单位的倒数。
而利用二阶导数迭代步长就符合单位一致(如Newton方法)：

[Delta x propto H^{-1} g propto frac{frac{partial f}{partial x}}{frac{partial^2 f}{partial x^2}} propto mathrm{units : of :} x ]

其中(H)为Hessian矩阵。
又注意到：

[Delta x = frac{frac{partial f}{partial x}}{frac{partial^2 f}{partial x^2}} Rightarrow frac{1}{frac{partial^2 f}{partial x^2}} = frac{Delta x}{frac{partial f}{partial x}} ]

于是，完全体的ADADELTA方法变为如下：

[Delta x_t = -frac{mathrm{RMS}[Delta x]_{t-1}}{mathrm{RMS}[g]_t}g_t ]

分子式(t-1)的原因式(Delta x_t)压根不知道，所木有办法，就将就一下。

算法

完整的算法如下：

需要注意一点的是，在实际实验中，我们设置(E[Delta x^2]_0=1)而不是如算法中所说的0。因为，如果设置为0，那么意味着第一步只进行相当微小的迭代，所以之后也都是微小的迭代。或许作者是将(epsilon)设置为(1)?而不是一个小量？

ADADELTA 代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

这次用比较怪一点的方式来写，首先，创建一个类，用来存放函数(f)和梯度(g)

class ADADELTA:
    def __init__(self, function, gradient, rho=0.7):
        assert hasattr(function, "__call__"), "Invalid function"
        assert hasattr(gradient, "__call__"), "Invalid gradient"
        assert 0 < rho < 1, "Invalid rho"
        self.__function = function
        self.__gradient = gradient
        self.rho = rho
        self.acc_gradient = 0 #初始化accumulate gradient
        self.acc_updates = 1 #初始化accumulate updates
        self.progress = []
        
    @property
    def function(self):
        return self.__function
    
    @property
    def gradient(self):
        return self.__gradient
    
    def reset(self):
        self.acc_gradient = 0 #初始化accumulate gradient
        self.acc_updates = 1 #初始化accumulate updates
        self.progress = []

计算累计梯度

[E[g^2]_t = ho E[g^2]_{t-1} + (1- ho)g_t^2 ]

def accumulate_gradient(self, gt):
    self.acc_gradient = self.rho * self.acc_gradient 
                            + (1 - self.rho) * gt ** 2
    return self.acc_gradient
ADADELTA.accumulate_gradient = accumulate_gradient

更新(E[Delta x]_t)

[E[Delta x^2]_t = ho E[Delta x^2]_{t-1} + (1- ho)Delta x_t^2 ]

def accumulate_updates(self, deltax):
    self.acc_updates = self.rho * self.acc_updates 
                        + (1 - self.rho) * deltax ** 2
    return self.acc_updates
ADADELTA.accumulate_updates = accumulate_updates

计算更新步长:

[Delta x_t = -frac{mathrm{RMS}[Delta x]_{t-1}}{mathrm{RMS}[g]_t}g_t ]

def step(self, x, smoothingterm=1e-8):
    gt = self.gradient(x)
    self.accumulate_gradient(gt)
    RMS_gt = np.sqrt(self.acc_gradient + smoothingterm)
    RMS_up = np.sqrt(self.acc_updates + smoothingterm)
    deltax = -RMS_up / RMS_gt * gt
    self.accumulate_updates(deltax)
    return x + deltax
ADADELTA.step = step

进行t步

def process(self, startx, t, smoothingterm=1e-8):
    x = startx
    for i in range(t):
        self.progress.append(x)
        x = self.step(x, smoothingterm)
    return self.progress
ADADELTA.process = process

可视化

def plot(self):
    x = np.arange(1, len(self.progress) + 1)
    y = np.array([
        self.function(item) for item in self.progress
    ])
    fig, ax = plt.subplots(constrained_layout=True)
    ax.plot(x, y)
    ax.set_xlabel("steps")
    ax.set_ylabel("value of function")
    ax.set_title("value with steps")
    plt.show()
ADADELTA.plot = plot

def function(x):
    return x[0] ** 2 + 50 * x[1] ** 2

def gradient(x):
    return 2 * x[0] + 100 * x[1]

test = ADADELTA(function, gradient, 0.9)
test.reset()
startx = np.array([10, 10])
test.process(startx, 50)
test.plot()