Inverse/Implicit Function Theorem

目录

• 4.1 The Inverse Function Theorem
• The Implicit Function Theorem
• 4.3 Curves and Surfaces
• 4.4 The Morse Lemma

Chapter 4 Inverse Function Theorem

这个章节讲得很好, 还引用了庄子秋水中的一段话, 大佬啊.

4.1 The Inverse Function Theorem

映射(F: mathbb{R}^n ightarrow mathbb{R}^m)在(p_0)可微, 若存在(DF(p_0) in mathbb{R}^{m imes n})使得

[lim_{h ightarrow 0} frac{|F(p_0+h)-F(p_0)-DF(p_0)h|}{|h|}=0. ]

定理4.1(逆函数定理): 令(F:U ightarrow mathbb{R}^n)为一(C^1)映射, 其中(U subset mathbb{R}^n)为一开集, (p_0 in U), 假设(DF(p_0))可逆, 则存在开集(V, W)分别包含(p_0, F(p_0))使得(F)在(V)上的限制是一个双射, 且其在(W)的逆映射是(C^1)的. 此外, 若(F)在(U)上是(C^k, 1le k le infty)则其逆映射也是(C^k)的.

首先是需要证明在(p_0)附近的对应是一一的, 这用到了

[T(x)=L^{-1}(Lx-F(x)+y), ]

这一压缩映射(首先得证明它是压缩映射, 同时在此过程中可确定(W)).
第二步是证明逆映射的连续性, 然后是可微性.

最后(C^k)的证明可由, (DF(G(y))DG(y)=I)得到

[DF^{-1} (y)=(DF(F^{-1}(y)))^{-1}. ]

The Implicit Function Theorem

定理4.3 (隐函数定理): 设(F:U ightarrow mathbb{R}^m)为定义在开集(U subset mathbb{R}^n imes mathbb{R}^m)上的(C^1)映射. 假设((p_0, q_0) in U)满足(F(p_0,q_0)=0), 且(D_yF(p_0, q_0))可逆. 则存在开集(V_1 imes V_2)包含((p_0, q_0))和一个(C^1)映射(varphi:V_1 ightarrow V_2), (varphi(p_o)=q_0)使得

[F(x, varphi(x))=0, forall x in V_1. ]

若(F)是(C^k)的, 则(varphi)也是(C^k)的, (1 le k le infty). 此外, 此映射在所定义的开集合(似乎需要加以限制)上是唯一的.

证明考虑下列映射

[Phi(x,y)=(x,F(x,y)), ]

并利用逆函数定理.

4.3 Curves and Surfaces

这是逆函数定理和隐函数定理的一个应用, 详见原文, 内容还是很有趣的.

4.4 The Morse Lemma

non-degenerate critical point: 即一阶梯度为0, 二阶梯度(黑塞矩阵)非奇异的点.

定理4.9 (Morse引理): 令(f)为一定义在(mathbb{R}^n)的一个开集上, 且(p_0)为一非退化关键点( non-degenerate critical point). 则存在一个光滑的局部坐标变换(x=Phi(y), p_0=Phi(0))使得

[ ilde{f}(y)=f(Phi(y))=f(p_0)-y_1^2-y_2^2-cdots-y_m^2+y_{m+1}^2 + cdots + y_n^2, ]

其中(m, 0le m le n)为关键点的index.

注: 原文中并没有(f(p_0))这一项, 个人认为是作者的笔误.