Direct and Indirect Effects

目录

• 概
• 主要内容
  • CDE
  • NDE
  • NIE
  • TDE, TIE, PDE, PIE

Judea Pearl. Direct and indirect effects. In Proceedings of the 17th conference on uncertainty in artificial intelligence. Morgan Kaufmann Publishers Inc., 2001.

概

CDE: Controlled Direct Effect;

NDE: Natural Direct Effect;

NIE: Natural Indirect Effect.

TDE: Total Direct Effect;

TIE: Total Indirect Effect;

PDE: Pure Direct Effect;

PIE: Pure Indirect Effect.

主要内容

graph LR X(X) -->Z(Z) --> Y(Y) X --> Y

设想, 药物(X)的影响通过俩种途径:

1. 直接对身体产生的影响;
2. 服用药物(X)会导致头疼, 故患者大概率会服用镇痛剂, 镇痛剂会利于(或者不利于)恢复.

如果我们直接计算causal effect, 则二者都会纳入其中, 但是往往我们所关心的只是单纯的(X ightarrow Y)这一部分, 也即direct effect, 那么如何计算呢?

CDE

average CDE的计算是:

[mathbb{E}[Y|do(X=x), do(Z=z)] -mathbb{E}[Y|do(X=x^*), do(Z=z)], ]

之所以被称之为controlled direct effect, 是因为我们认为的限定(Z=z).
用上面的例子来说就是, 我们限定所有人服用的镇定剂为(z).

NDE

average NDE的计算是:

[mathbb{E}[Y|do(X=x), do(Z=Z_{x*})] -mathbb{E}[Y|do(X=x^*)], ]

相当于, 一个人服用了药物(x), 但是我们骗他说服用了药物(x^*), 导致其服用镇定剂的量是本应该服用药物(x^*)后的量.

不同于CDE, NDE的计算要略微复杂一点:

需要满足:

[Y_{xz} amalg Z_{x^*} | W, ]

这里(W)是confounder.
此时:

[NDE(x, x^*, Y) = sum_{w, z}[mathbb{E}[Y_{x,z}|w] - mathbb{E}[Y_{x^*,z}|w]]P(Z_{x^*}=z|w)P(w). ]

NIE

有些时候我们想要的是支线(X ightarrow Z ightarrow Y), 此时我们需要计算NIE:

average NIE的计算是

[mathbb{E}[Y|do(X=x^*), do(Z=Z_{x})] -mathbb{E}[Y|do(X=x^*)]. ]

类似的解释.

满足

[Y_{x^*, z} amalg Z_x | W, ]

可以得到

[NIE(x, x^*, Y) = sum_{w, z}mathbb{E}[Y_{x^*,z}|w][P(Z_{x}=z|w) - P(Z_{x^*}=z|w)]P(w). ]

TDE, TIE, PDE, PIE

可以发现:

[egin{array}{rl} mathbb{E}[Y_{x}] - mathbb{E}[Y_{x^*}] &=mathbb{E}[Y_{xz}] -mathbb{E}[Y_{x^*z^*}] \ &=underbrace{(mathbb{E}[Y_{xz}]-mathbb{E}[Y_{xz^*}])}_{TIE} + underbrace{(mathbb{E}[Y_{xz^*}]-mathbb{E}[Y_{x^*z^*}])}_{PDE}\ &=underbrace{(mathbb{E}[Y_{xz}]-mathbb{E}[Y_{x^*z}]])}_{TDE} + underbrace{(mathbb{E}[Y_{x^*z}]-mathbb{E}[Y_{x^*z^*}])}_{PIE}. end{array} ]