luogu4131 [WC2005]友好的生物

题目

分析

part 1

思维难度挺大的一道题，建议先看看这篇blog及2005国家集训队ysy的解题报告（解题报告的链接在这篇blog里）：

[WC2005]友好的生物

还有2006陈启峰的论文：一张一弛，解题之道

part 2

先由简，不考虑a[k]，那么这样直接求怎么求呢？

直接枚举O（n²k）当然可以，只不过会超时；

有没有一种方法可以避免一些不必要的枚举呢？

这道题最大的阻碍就是这个绝对值问题了，因为它只跟两个生物的具体属性的相对大小有关，所以难以确定，必须枚举。

如果有办法把他给确定了，问题就好解决了。

part 3

看看 k 的数据范围，很容易想到可以从k下手；

抓住绝对值中的‘-’是不变的，也就是说，同一属性两种生物的符号是相反的

有什么用？（用处可大了）

说明对被减数取个负，他们的同一属性的符号就一样了呀。

这样的话，对于每个符号方案，求出每个生物的属性和，再相减不就可以了？

这个符号下放到每个属性，一共就有2^k-1种符号方案（先不考虑第k种）

你可能会说，这不一定是绝对值

但是这里面一定包含绝对值，不是绝对值的答案一定会比正确答案小（废话因为是负数）

part 4

枚举每一种符号方案（可以用状压01串表示+-），求出里面的最大差就好，这个可以在O（n）的复杂度里求出来；

边枚举边维护一个min值，用当前值与min值得差更新答案，用当前值更新min值，这样这道题的大致框架就出来了

part 5

考虑a[k]，它取的是绝对值的相反数，怎么考虑它呢？

如果它的符号也随机，按照枚举来，这样不能保证a[k]的贡献为负贡献，也不能保证最大差就是正确答案

那多出来的错误答案便是把a[k]弄成了正贡献；

要避免这类情况。

他的特征是小数减大数，我们需要一种方法，既满足最大差就是正确答案，又满足a[k]的性质；

不考虑a[k]的方法与生物的顺序无关，与某一种属性的大小也无关，但是a[k]就明显与大小有关了

a[k]必须保证是小数减大数，而其他的属性随意，这样就可以保证最大差就是正确答案；

既然a[k]与大小有关，不如就按照a[k]的大小确定加减，a[k]小的为被减数，而a[k]的符号确定为+。

这样做能否保证上述方法的正确性呢？

这样做，保证了第k种属性对答案的贡献为负，前面的符号仍然是枚举符号，而a[k]的符号确定，这样再求最大差，仍然是满足正确性

不如就按照a[k]的大小排序，保证a[k]大的在前面，只考虑减去比a[k]它大的生物，这样就可以按照part 4的方法在O（n）的时间中求出最大差

题解：

 

代码

/***************************
User:Mandy.H.Y
Language:c++
Problem:species
Algorithm:
Score:
***************************/
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 5;
const int maxk = 6;

int n,k,cur,ans,ans1,ans2,curid;
int c[maxk];

struct Node{
    int a[10],id;
    bool operator <(const Node &b)const {
        return a[k] > b.a[k];
    }
}p[maxn]; 

template<class T>inline void read(T &x){
    x = 0;bool flag = 0;char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)) flag |= ch == '-',ch = getchar();
    while(isdigit(ch)) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48),ch = getchar();
    if(flag) x = -x;
}

template<class T>void putch(const T x){
    if(x > 9) putch(x / 10);
    putchar(x % 10 | 48);
}

template<class T>void put(const T x){
    if(x < 0) putchar('-'),putch(-x);
    else putch(x);
}

void file(){
    freopen("species.in","r",stdin);
    freopen("species.out","w",stdout);
}

void readdata(){
    read(n);read(k);
    for(int i = 1;i <= k; ++ i) read(c[i]);
    
    for(int i = 1;i <= n; ++ i){
        p[i].id = i;
        for(int j = 1;j <= k; ++ j){
            read(p[i].a[j]);
            p[i].a[j] *= c[j];                    
        }
    }
} 

void work(){
    sort(p + 1,p + n + 1);
    ans = -2e9;
    for(int i = 0;i < (1 << (k - 1)); ++ i){
        
        cur = p[1].a[k];curid = p[1].id;
        for(int l = 1;l <= k - 1 ; ++ l){
            if(i & (1 << (l - 1))) cur += p[1].a[l];
            else cur -= p[1].a[l];
        }
        
        for(int j = 2;j <= n; ++ j){
            int now = p[j].a[k];
            for(int l = 1;l <= k - 1 ; ++ l){
                if(i & (1 << (l - 1))) now += p[j].a[l];
                else now -= p[j].a[l];
            } 
            if(now - cur > ans){
                ans = now - cur;
                ans1 = curid;
                ans2 = p[j].id;
            }
            
            if(now < cur){
                cur = now;
                curid = p[j].id;
            }
        }
    }
    put(ans1);putchar(' ');put(ans2);putchar('
');
    put(ans);
 
}


int main(){
//    file();
    readdata();
    work(); 
    return 0;
}