【poj1012】 Joseph

http://poj.org/problem?id=1012 (题目链接)

半年前的考试题。。任然清晰的记得那次差10分就AK。。。

题意

　　约瑟夫环，有前k个好人，后k个坏人，要求使得后k个坏人先死的最小m。

Solution

　　很水的约瑟夫问题。。半年前还是暴力模拟+打表。。醉了。

　　无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

　　为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

　　问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

　　我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）：

　　　　k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2

　　并且从k开始报0。

　　现在我们把他们的编号做一下转换： 
　　　　k –> 0 
　　　　k+1 –> 1 
　　　　k+2 –> 2 
　　　　… 
　　　　… 
　　　　k-2 –> n-2 
　　　　k-1 –> n-1

　　变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x’=(x+k)%n

　　如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 —- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

　　令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

　　递推公式： 
　　　　f[1]=0; 
　　　　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

　　有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1.

　　所提对于这道题我们只需枚举ｍ然后判断即可。

代码

// poj1012
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<set>
#define MOD 1000000007
#define inf 2147483640
#define LL long long
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;
inline LL getint() {
    LL x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch>'9' || ch<'0') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

int main() {
    int k,a[30]={0};
    while (scanf("%d",&k)!=EOF && k) {
        if (a[k]) {printf("%d
",a[k]);continue;}
        int n=2*k,m=k;
        int ans[30]={0};
        for (int i=1;i<=k;i++) {
            ans[i]=(ans[i-1]+m-1)%(n-i+1);
            if (ans[i]<k) {i=0,m++;if (((m-1)/k)%2==0) m=m+k;}
        }
        a[k]=m;
        printf("%d
",m);
    }
    return 0;
}