已知数列 $ {a_n} $ 满足: $ a_1=dfrac{1}{3}$, (a_{n+1}=(1-a_n)sin a_n), $ninmathbb{N}^ast. $ 求证:
$ (1) $ $ 0<a_nleqslantdfrac{1}{n+2},ninmathbb{N}^ast; $
$ (2) $ $ cossqrt{2a_1}cossqrt{2a_2}cdotscossqrt{2a_n}>dfrac{2}{n+2}, ninmathbb{N}^ast. $
解析
$ (1) $ 易知$$ forall xinleft (0,dfrac{1}{3}
ight], 0<(1-x)sin x<x . $$
首先考虑证明 (forall ninmathbb{N}^ast, 0<a_nleqslantdfrac{1}{3}).
归纳奠基 显然 $ n=1 $ 时,上述命题成立.
归纳递推 假设当 $ n=k(kgeqslant2 ext{且}kinmathbb{N}^ast) $ 时, $ 0<a_kleqslantdfrac{1}{3}. $ 则 $$ a_{k+1}=(1-a_k)sin{a_k}inleft(0, dfrac{1}{3}
ight] ,$$于是(forall ninmathbb{N}^ast,a_ninleft( 0,dfrac{1}{3}
ight].) 接下来证明 $ forall ninmathbb{N}^ast, 0<a_nleqslantdfrac{1}{n+2}. $
归纳奠基 显然 $ n=1 $ 时, 上述命题成立.
归纳递推 假设当 $ n=k(kgeqslant2 ext{且}kinmathbb{N}^ast) $ 时, (0< a_kleqslantdfrac{1}{k+2} .) 则 $$ 0<a_{k+1}=(1-a_k)sin{a_k}<(1-a_k)a_kleqslantdfrac{k+1}{(k+2)^2}<dfrac{1}{k+3}. $$
于是(forall ninmathbb{N}^ast, 0<a_nleqslant dfrac{1}{n+2}).
$ (2) $ 原不等式可以写成 $$ cossqrt{2a_1}cossqrt{2a_2}cdotscossqrt{2a_n}>dfrac{2}{3}cdotdfrac{3}{4}cdotsdfrac{n+1}{n+2} $$
只要证 $$ forall ninmathbb{N}^ast, cos{sqrt{2a_n}}>dfrac{n+1}{n+2}. $$
结合 ((1)) 中结论可知仅需证明 $$forall ninmathbb{N}^ast, cos{sqrt{dfrac{2}{n+2}}}>dfrac{n+1}{n+2}.$$
令 $ x=sqrt{dfrac{2}{n+2}}inleft( 0, dfrac{sqrt 6}{3}
ight], $ 则上式等价于 $$ forall xinleft(0,dfrac{sqrt{6}}{3}
ight], cos x>1-
dfrac{1}{2}x^2. $$
易证上述不等式成立.从而题中不等式得证.