每日一题_190912

已知椭圆 (dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1) ((a>b>0)) 的左右焦点分别为 (F_1(-c,0)), (F_2(c,0)), 动弦 (AB) 过左焦点, 若 $left| overrightarrow{F_2A}- overrightarrow{F_2B} ight| geqslant left| overrightarrow{F_2A}+ overrightarrow{F_2B} ight| $ 恒成立, 则椭圆的离心率的取值范围是(underline{qquadqquad}).
解析: 如图, 设直线 (AB) 的倾斜角为 ( heta), 则 ( heta) 的取值范围为 ([0,pi)),

对题中所给条件不等式 (left| overrightarrow{F_2A}- overrightarrow{F_2B} ight| geqslant left| overrightarrow{F_2A}+ overrightarrow{F_2B} ight|) 两边平方可化简为
$$
overrightarrow{F_2A}cdot overrightarrow{F_2B}leqslant 0.
$$ 即

[forall hetain[0,pi), left( overrightarrow{F_2F_1}+overrightarrow{F_1A} ight)cdot left(overrightarrow{F_2F_1}+overrightarrow{F_1B} ight)leqslant 0,$$ 记上述不等式左侧为 $LHS$, 则 ]

	egin{split}
		 LHS =&overrightarrow{F_2F_1}^2+overrightarrow{F_2F_1}cdot overrightarrow{F_1A}+overrightarrow{F_2F_1}cdot overrightarrow{F_1B}+overrightarrow{F_1A}cdotoverrightarrow{F_2B}\
		 =&4c^2-2ccdot dfrac{b^2}{a-ccos	heta}cdot cos	heta+2ccdot dfrac{b^2}{a+ccos	heta}cdot cos	heta \

&-dfrac{b^2}{a-ccos heta}cdot dfrac{b^2}{a+ccos heta}
=& dfrac{4a^2c2sin^2 heta -b^4}{a2-c^2cos2 heta}.
end{split}$$ 从而 $$
forall hetain[0,pi), 4a^2c2 sin^{2 heta-b}4leqslant 0. $$
于是可得 (4a^2c^2-b^4leqslant 0). 若记椭圆离心率为 (e=dfrac ca), 则有
$$
e^2+2e-1leqslant 0, ein (0,1).
$$ 解得 (e) 的取值范围为 (left(0,sqrt2-1 ight )).