每日一题_191003

在面积为(1)的( riangle ABC)中,(a,b,c)为角(A,B,C)所对的边,则(dfrac{b^2(1+cos A)(1+cos C)}{1-cos B})的最小值为(underline{qquadqquad}.)

解析:
法一 (qquad)记所求表达式为(M),则由余弦定理有$$
egin{split}
M&=dfrac{b^2cdot left(1+dfrac{b^2+c2-a^2}{2bc} ight)cdot left(1+dfrac{a^2+b2-c^{2}{2ab} ight)}{1-dfrac{a}2+c^2-b2}{2ac}}
&=dfrac{1}{2}cdot dfrac{left[left(b+c ight)^2-a2 ight]left[left(a+b ight)^2-c2 ight]}{left[b^{2-left(a-c ight)}2 ight]}
&=dfrac{1}{2}left(a+b+c ight)^2
&geqslant 6sqrt{3}.
end{split}$$
当且仅当( riangle ABC)为正三角形时,上述不等式取等,因此(M)的最小值为(6sqrt3).

法二(qquad)记待求表达式为(M),则$$
egin{split}
M&=dfrac{b^2left(1+cos A ight)left(1+cos C ight)}{dfrac{1}{2}bcsin Aleft(1-cos B ight)}
&=2cot dfrac{A}{2}cotdfrac{B}{2}cotdfrac{C}{2}.
end{split}$$
由于我们熟知三角恒等式$$cotdfrac{A}{2}cotdfrac{B}{2}cotdfrac{C}{2}=cotdfrac{A}{2}+cotdfrac{B}{2}+cotdfrac{C}{2}.$$因此$$
cot dfrac{A}{2}cotdfrac{B}{2}cotdfrac{C}{2}geqslant 3sqrt[3]{cot dfrac{A}{2}cotdfrac{B}{2}cotdfrac{C}{2}} .$$因此$$Mgeqslant 2cdot 3sqrt{3}=6sqrt{3}.$$
当且仅当(A=B=C=dfrac{pi}{3})时,(M)取得最小值(6sqrt3).