设函数(f(x)={ln}x+dfrac{1}{2}x-a,ainmathbb{R}),若存在(binleft[1,mathrm{e}
ight]),(mathrm{e})为自然对数的底数,使得(fleft(fleft(b
ight)
ight)=b),
则实数(a)的取值范围为(left(qquad
ight))
(mathrm{A}.left[-dfrac 12,1-dfrac{mathrm{e}}{2}
ight]) (qquadmathrm{B}.left[1-dfrac{mathrm{e}}{2},{ln}2-1
ight]) (qquadmathrm{C}. left[-dfrac 12,{ln}2-1
ight]) (qquadmathrm{D}.left[-dfrac12,0
ight])
解析:
根据题意,由于(fleft(fleft(b
ight)
ight)=b),所以(b)是函数(f(x))的稳定点,又(f(x))单调递增,所以该稳定点为不动点,也即必有$$exists binleft[1,mathrm{e}
ight],f(b)=b.$$于是可得$$exists binleft[1,mathrm{e}
ight], a=-dfrac{1}{2}b+{ln}b.$$所以(a)的取值范围为(left[-dfrac 12,{ln}2-1
ight]),故(mathrm{C})选项正确.