已知函数(f(x)=x-1+dfrac{a}{mathrm{e}^x}),((ainmathbb{R},mathrm{e})为自然对数的底数()).
((1)) 若曲线(y=f(x))在点((1,f(1)))处的切线平行于(x)轴,求(a)的值(;)
((2)) 求函数(f(x))的极值;
((3)) 当(a=1)时,若直线(l: y=kx-1)与曲线(y=f(x))没有公共点,求(k)的最大值.
解析:
((1)) 对(f(x))求导可得$$f'(x)=1-amathrm{e}^{-x}.$$根据题意有(f'(1)=0),于是解得此时(a=mathrm{e}).
((2)) 情形一 若(aleqslant 0),则(f'(x)geqslant 0)恒成立,此时函数(f(x))无极值点.
情形二 若(a>0),则(f'(x)=0)有唯一解(x_0={ln}a),此时函数(f(x))有极小值$$f(x_0)={ln}a.$$
((3)) 由题可知下述方程无解$$x-1+dfrac{1}{mathrm{e}^x}=kx-1,xinmathbb{R}.$$
情形一 (k=1)时,显然满足题意.
情形二 (k>1)时,考虑构造函数$$g(x)=xmathrm{e}^x-dfrac{1}{k-1},xinmathrm{R}.$$
易知函数(g(x))在((-infty,-1))单调递减,在([-1,+infty))单调递增,并且此时$$
egin{cases}
& exists x_1=-1,g(x_1)=-mathrm{e}^{-1}-dfrac{1}{k-1},
& exists x_2=dfrac{1}{k-1}>0,g(x_2)=dfrac{1}{k-1}left(mathrm{e}^{x_2}-1
ight)>0.
end{cases}$$
所以该种情形下,(g(x))在区间((x_1,x_2))存在唯一零点,不符题设,舍去.综上(k)的最大值为(1).