每日一题_191022

设函数(f(x)=xmathrm{e}^{a-x}+bx),其中(mathrm{e})为自然对数的底数,(a,b)为常数,且函数(f(x))的极值点为(x=1),最大值为(1).
((1)) 求(a,b)的值;
((2)) 若(f(x_1)=f(x_2)),且(x_1<x_2),求证(: x_1+2x_2>mathrm{e}).
解析
((1)) 由题易知(f'(1)=0),于是(b=0),从而,题中的极值点即最大值点,所以(f(1)=1),因此$$
(a,b)=(1,0).$$
((2))
法一 由(f(x_1)=f(x_2))可知$$
dfrac{x_1}{mathrm{e}^{{x_1}}=dfrac{x_2}{mathrm{e}}{x_2}}.$$若设(t=dfrac{x_2}{x_1}inleft(1,+infty ight)),则$$
t=dfrac{x_2}{x_1}=mathrm{e}^{x_2-x_1}.$$从而$$x_1=x_2-{ln}t=tcdot x_1-{ln}t.$$所以$$
x_1=dfrac{{ln}t}{t-1},x_2=dfrac{t{ln}t}{t-1}.$$从而只需证明$$
forall t>1,dfrac{{ln}t}{t-1}+dfrac{2t{ln}t}{t-1}>mathrm{e}.$$等价于证明$$
forall t>1,{ln}t-dfrac{mathrm{e}(t-1)}{2t+1}>0.$$记上述不等式左侧为(g(t))则$$
g'(t)=dfrac{4t^{2+(4-3mathrm{e})t+1}{t(2t+1)}2},t>1.$$显然(forall t>1,g'(t)>0),从而(g(t))单调递增,所以$$
forall t>1,g(t)>g(1)=0.$$证毕.

法二 由题(f(x_1)=f(x_2)),再结合指数平均不等式可得$$
dfrac{x_1}{mathrm{e}^{{x_1}}=dfrac{x_2}{mathrm{e}}{x_2}}=dfrac{x_1+x_2}{mathrm{e}^{{x_1}+mathrm{e}}{x_2}}=dfrac{x_1-x_2}{mathrm{e}^{{x_1}-mathrm{e}}{x_2}}>dfrac{2}{mathrm{e}^{{x_1}+mathrm{e}}{x_2}}.$$从而$$
x_1+x_2>2.$$于是$$
dfrac{x_1+2x_2}{3}>dfrac{x_1+x_2}{2}>1>dfrac{mathrm{e}}{3}.$$证毕.