每日一题_191024

已知函数(f(x)=dfrac{x^2+2{ln}x+3}{x}+m),若(exists x_0inleft[dfrac{1}{4},+infty ight)),使得(f(f(x_0))=x_0),则(m)的取值范围是(underline{qquadqquad}).
解析:
由于(x_0)满足(f(f(x_0))=x_0),所以(x_0)是(f(x))的稳定点,又因为$$
f'(x)=dfrac{x^2-1-{ln}x2}{x^2}geqslant 0.$$因此(x_0)为(f(x))的不动点,因此题意即$$exists x_0in left[ dfrac{1}{4},+infty ight), f(x_0)=x_0.$$
所以问题转化为求函数$$
m(x)=x-dfrac{x^2+2{ln}x+3}{x},xinleft[ dfrac{1}{4},+infty ight).$$的值域问题.易求得(m)的取值范围为(left[ -2sqrt{mathrm{e}},0 ight)).