已知椭圆(E:dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1) ((a>b>0))的长轴长为(4),离心率为(dfrac{sqrt{2}}{2}).
((1)) 求椭圆(E)的标准方程;
((2)) 过(P(1,0))作直线(AB),与椭圆相交于(A,B)两点.是否存在定直线(l),对于任意给定的直线(AB),使得(l)上的任意一点(Q),与(A,P,B)三点连线的斜率始终成等差数列? 若存在,求出该直线方程;若不存在,请说明理由.
解析:
((1)) 由题易得椭圆方程为(dfrac{x^2}{4}+dfrac{y^2}{2}=1).
((2)) 假设存在满足题意的直线,则根据对称性,易知该定直线垂直于(x)轴,
设$QB$直线与椭圆交于另一点$D$,连接$DP$并延长,与椭圆交于另一点$C$,分别记直线$QB,QP,QA,QC$的斜率为$$ k_1,k_0,k_2,k_3.$$ 对于$A,B,Q$构成的点组,满足$$ k_1+k_2=2k_0.$$ 对于$C,D,Q$构成的点组,满足$$ k_3+k_2=2k_0.$$于是对比以上两式可知$k_1=k_3$,因此$C,A,Q$三点共线. 从而结合极点极线的知识可判定$Q$点必然也恒位于$P$点关于椭圆$E$的极线,也即直线$x=4$上 . 存在直线$x=4$满足题意,以下给与证明.设$A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ ,$Q(4,t)$,$tinmathbb{R}$. 情形一 当直线$AB$斜率为$0$,也即$AB$直线与$x$轴重合时,直线$QA,QB$的斜率之和为$$ dfrac{t-0}{4-(-2)}+dfrac{t-0}{4-2}=dfrac{2}{3}t.$$ 此时$QP$的斜率为$dfrac{t-0}{4-1}=dfrac{t}{3}$,满足题意. 情形二 当直线$AB$的斜率不为$0$时,设直线$AB$的方程为$$ x=my+1,minmathbb{R}.$$将该直线与椭圆的方程联立消去$x$并整理可得$$(2+m^2)y^2+2my-3=0.$$由韦达定理易得$$ y_1+y_2=dfrac{-2m}{2+m^2},y_1y_2=dfrac{-3}{2+m^2}.$$ 从而直线$QA,QB$的斜率之和为$$ egin{split} dfrac{t-y_1}{4-x_1}+dfrac{t-y_2}{4-x_2}&=dfrac{t-y_1}{3-my_1}+dfrac{t-y_2}{3-my_2}\ &=dfrac{6t-(3+mt)(y_1+y_2)+2my_1y_2}{9-3m(y_1+y_2)+m^2y_1y_2}\ &=dfrac{4tcdot(3+2m^2)}{6cdot(3+2m^2)}\ &=2cdot dfrac{t}{3}. end{split} $$ 显然$QA,QB$的斜率和等于$QP$斜率的二倍,满足题设. 因此,存在直线$x=4$满足题意.