hdu3037 Lucas定理

Lucas定理

　　Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)，其中lucas(n,m,p)=C(n,m)%p

　　(这里的除号是整除)

证明——百度百科

题意：求n个数的和<=m的方案数

题解：

　　求a1+a2+ ... +an=m方案数, 利用隔板法要使得每个数>=1，所以令bi = ai+1>=1 则 b1+b2+ ... +bn=m+n方案数为C(m+n-1, n-1)=C(m+n-1, m)

　　故 ans = sigama(C(i+n-1, i)) = C(n-1, 0) + C(n, 1) + C(n+1, 2) + ... + C(n+m-1, m) = C(n+m, m)

　　剩下的就是Lucas定理的应用了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <utility>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

long long fac[100005];

long long quick(long long a, long long n, long long p)
{
    long long tmp=a%p, ret=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ret=(ret*tmp)%p;
        tmp=(tmp*tmp)%p;
        n>>=1;
    }
    return ret%p;
}

long long C(long long n, long long m, long long p)
{
    if(m>n) return 0;
    fac[0]=1;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        fac[i]=(fac[i-1]*i)%p;
    return (fac[n]*quick(fac[m]*fac[n-m], p-2, p))%p;
}

long long Lucas(long long n, long long m, long long p)
{
    long long ret=1;
    while(n && m)
    {
        ret=ret*C(n%p, m%p, p)%p;//注意 C(10, 8) % 9这类情况
        n/=p;
        m/=p;
    }
    return ret;
}

long long n,m,p;

int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &p);
        printf("%I64d
", Lucas(n+m, m, p));
    }
    return 0;
}