【HDU6184】Counting Stars-建图+组合计数+思维

测试地址：Counting Stars
题目大意：给一张无向图，其中一个子图被称为A形图，当且仅当其选出的4$4$个点5$5$条边刚好构成一个四元环中间加上一条边的形状，问有多少个A形图。
做法：本题需要用到建图+组合计数+思维。
显然我们要先计算包含边i$i$的三元环数目x$x$，然后对于边i$i$作为中间边的A形图就有x(x−1)2$\frac{x(x-1)}{2}$个。于是现在的问题变成了求x$x$。
我们发现用正常的思路去想，怎么都跑不了O(m2)$O(m^2)$，但还是会被卡，怎么办呢？接下来的做法将会是颠覆思想的。
我们强行将无向图转成有向图。转化方法为：对于原图中的边(a,b)$(a,b)$，如果a$a$的度数比b$b$小，或者在度数相同的情况下，编号比b$b$小，就从a$a$向b$b$连边，否则就反过来。我们发现这是一个严格的偏序关系，那么原图就转化为了一个DAG，因此原图中每一个三元环，到了现在的图中就不会是一个有向环，而这种“环”中存在且仅存在一条边，使得这条边的两个端点都指向剩下的另一个点，直接枚举计数即可。
有同学可能就要问了，这不还是O(m2)$O(m^2)$的么？再回想我们的建图方法，如果一个点的出度大于m−−√$\sqrt{m}$，那么对于它所指向的所有点，每个点的出度都大于m−−√$\sqrt{m}$，这显然是矛盾的，因此每个点的出度不超过m−−√$\sqrt{m}$，于是这个算法的时间复杂度实际上是O(mm−−√)$O(m\sqrt{m})$的，可以通过此题。
这个思想真是太神了……在考场上一定想不出来……
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,a[200010],b[200010],d[100010];
int first[100010],tot,vis[100010]={0};
ll cnt[200010];
struct edge
{
    int v,next;
}e[200010];

void insert(int a,int b)
{
    e[++tot].v=b;
    e[tot].next=first[a];
    first[a]=tot;
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        memset(first,0,sizeof(first));
        tot=0;
        memset(d,0,sizeof(d));

        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
            d[a[i]]++,d[b[i]]++;
        }
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            if (d[a[i]]<d[b[i]]||(d[a[i]]==d[b[i]]&&a[i]<b[i]))
                insert(a[i],b[i]);
            else insert(b[i],a[i]);
        }

        memset(cnt,0,sizeof(cnt));
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=first[a[i]];j;j=e[j].next)
                vis[e[j].v]=j;
            for(int j=first[b[i]];j;j=e[j].next)
                if (vis[e[j].v])
                {
                    cnt[i]++;
                    cnt[vis[e[j].v]]++;
                    cnt[j]++;
                }
            for(int j=first[a[i]];j;j=e[j].next)
                vis[e[j].v]=0;
        }

        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            ans+=cnt[i]*(cnt[i]-1)/2ll;
        printf("%lld
",ans);
    }

    return 0;
}