Codeforces1101F Trucks and Cities 【滑动窗口】【区间DP】

题目分析：

2500的题目为什么我想了这么久。。。

考虑答案是什么。对于一辆从$s$到$t$的车，它有$k$次加油的机会。可以发现实际上是将$s$到$t$的路径以城市为端点最多划分为最大长度最小的$k+1$段。不难发现这样做一定是最优的。

设计DP状态$f[i][j][k]$表示将第$i$座城市到第$j$座城市的路径划分为$k$段。朴素的DP方程是：

$$f[i][j][k] = min(max(f[i][x][k-1],a[j]-a[x])),(which)x in [i,j]$$

这个DP是$O(n^4)$的，但我们注意到DP状态有单调性。

换句话说，存在一个城市$y$，使得任意$x<y$满足$max(f[i][x][k-1],a[j]-a[x])=a[j]-a[x]$，任意$x>y$满足$max(f[i][x][k-1],a[j]-a[x])=f[i][x][k-1]$。我们考虑的转移只有两个点是有意义的。

对于相同的$i$，$y$的选取仍然具有单调性，所以利用two pointers移动指针可以做到$O(n^3)$

注意：开三维数组会MLE，我们可以滚动一维(甚至可以滚动两维，心动不如行动，试着写一下吧)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 405;

int n,m,a[maxn],nxt[maxn];

struct node{int s,t,oil;};

int f[maxn][maxn][2];
vector <node> hh[maxn];

void read(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++){
    int s,t,oil,tms;
    scanf("%d%d%d%d",&s,&t,&oil,&tms);
    tms = min(tms,t-s-1)+1;
    hh[tms].push_back((node){s,t,oil});
    }
}

void work(){
    long long ans = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=i;j<=n;j++) f[i][j][1] = a[j]-a[i];
    for(int k=1;k<=n-1;k++){
    for(int i=0;i<hh[k].size();i++)
        ans = max(ans,1ll*f[hh[k][i].s][hh[k][i].t][k&1]*hh[k][i].oil);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        f[i][i][(k+1)&1] = 0; int pts = i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
        while(f[i][pts][k&1] < a[j]-a[pts])pts++;
        f[i][j][(k+1)&1] = min(f[i][pts][k&1],a[j]-a[pts-1]);
        }
    }
    }
    printf("%lld
",ans);
}

int main(){
    read();
    work();
    return 0;
}