LCA 最近公共祖先 (笔记、模板)

求lca的方法大体有三种：
1.dfs+RMQ（线段树 ST表什么的） 在线
2.倍增 在线
3.tarjan 离线

ps：离线：所有查询全输入后一次解决
在线：有一个查询输出一次
以下模板题为 洛谷 P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

1.首先dfs求出

1>dfs遍历时经过的所有节点的位置
2>每个节点第一次出现的位置
3>每个节点的深度
查询时先取出两个节点的位置求出这两个位置间的深度最小的节点
这个节点就是lca
code:

//By Menteur_Hxy 2068ms
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAX=500110;

int n,qu,root,cnt;
int head[MAX],ver[MAX*2],first[MAX],log[MAX*2],deep[MAX],f[MAX*2][21];

struct edges{
    int to,next;
}edge[MAX*2+5];

void add(int x,int y) {
    edge[++cnt].next=head[x];
    edge[cnt].to=y;
    head[x]=cnt;
}

void dfs(int u,int pre) {
    ver[++cnt]=u;
    first[u]=cnt;
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].next) {
        int v=edge[i].to;
        if(v!=pre) {
            deep[v]=deep[u]+1;
            dfs(v,u);
            ver[++cnt]=u;
        }
    }
}

void ST() {
    for(int i=1;i<=cnt;i++) f[i][0]=ver[i];
    log[1]=0,log[2]=1;
    for(int i=3;i<=cnt;i++) {
        log[i]=log[i-1];
        if(1<<log[i-1]+1==i) log[i]++;
    }
    int k=log[cnt];
    for(int j=1;j<=k;j++)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=cnt;i++) {//一定注意位运算要加括号!!!
            if(deep[f[i][j-1]]<deep[f[i+(1<<j-1)][j-1]])
                f[i][j]=f[i][j-1];
            else f[i][j]=f[i+(1<<j-1)][j-1];
        }

}

int RMQ(int l,int r) {
    int k=log[r-l+1];
//  cout<<l<<":"<<deep[f[l][k]]<<" "<<r<<":"<<deep[f[r-(1<<k)+1][k]]<<endl;
    if(deep[f[l][k]]<deep[f[r-(1<<k)+1][k]])
        return f[l][k];
    else return f[r-(1<<k)+1][k];
//  return min(f[l][k],f[r-1<<k+1][k]);
}

int ask(int x,int y) {
    x=first[x];y=first[y];
    if(x>y) swap(x,y);
    return RMQ(x,y);
}

int main() {
    scanf("%d %d %d",&n,&qu,&root); 
    for(int i=1;i<n;i++) {
        int a,b;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        add(a,b);
        add(b,a);
    }
    cnt=0;
    dfs(root,-1);
//  for(int i=1;i<=cnt;i++) cout<<ver[i]<<" ";
//  cout<<endl; 
    ST();
    for(int i=1;i<=qu;i++) {
        int a,b;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        printf("%d
",ask(a,b));
    }
    return 0;
}

2.倍增

同样需要dfs，不过只需求出深度和每个节点的父亲
现在设f[i][j] 表示i的第2^j个祖先 （eg：f[i][0] 即为i的父亲）
所以显然有 f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1] （i的第2^j-1个祖先的第2^j-1个祖先是i的2^j个祖先）
查询两节点时，先将深度较大的节点向上移动直到与另一个节点深度相同，判断此时两节点是否相同如果不同，就从大到小枚举尝试往上跳直到两节点父亲相同此时父亲就是lca

code:

//By Menteur_Hxy 1860ms
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
using namespace std;

const int MAX=500010;

int n,qu,root,cnt;
int head[MAX],deep[MAX],f[MAX][20];
/*
f[i][j] i的第2^j个祖先
*/
struct edges{
    int to,next;
}edge[MAX*2];

void add(int x,int y) {
    edge[++cnt].to=y;
    edge[cnt].next=head[x];
    head[x]=cnt;
}

void dfs_bz(int cur) {
    for(int i=head[cur];i;i=edge[i].next) {
        int v=edge[i].to;
        if(v!=f[cur][0]) { //判断！！！ 
//          cout<<cur<<":"<<v<<endl;
            f[v][0]=cur;
            deep[v]=deep[cur]+1;
            dfs_bz(v);
        }
    }
}

void init() {
    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
        for(int i=1;i<=n;i++) 
            if(f[i][j-1]!=-1)
                f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
}

int lca_bz(int x,int y) {
    if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
    int d=deep[x]-deep[y];
    for(int i=0;d;i++,d>>=1) 
        if(d&1) x=f[x][i];

//  for(int i=0;(1<<i)<=d;i++) 
//      if((1<<i)&d) x=f[x][i];  这样写也行 

//  cout<<x<<","<<y<<endl;
//  cout<<deep[x]<<"-"<<deep[y]<<endl;
    if(x!=y) {
        for(int i=17;i>=0;i--) { //=0也算！！！
            if(f[x][i]!=f[y][i])
                x=f[x][i],y=f[y][i];
        }
        return f[x][0];
    }
    else return x;
}

int main(){
    scanf("%d %d %d",&n,&qu,&root);
    for(int i=1;i<n;i++) {
        int a,b;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        add(a,b);
        add(b,a);
    }
    f[root][0]=-1;
    dfs_bz(root);
    init();
    for(int i=1;i<=qu;i++) {
        int x,y;
        scanf("%d %d",&x,&y);
        printf("%d
",lca_bz(x,y));
    }
    return 0;
}

3.tarjan

先记录查询的问题
进行dfs,每次在节点（u）返回前查询与它构成问题的所有节点（v），如果其中有之前已经遍历过的节点（vis[v]=true），则这两个节点的lca为find（v），所有v都查过后，将它与它的父节点的集合合并，之后返回。

code；

//By Menteur_Hxy 912ms
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

const int MAX=500010;

int n,qu,root,cnt;
int head[MAX],f[MAX],head_[MAX],vis[MAX],ans[MAX];

struct edges{
    int to,next;
}edge[MAX*2],edge_[MAX*2];

void add(int x,int y) {
    edge[++cnt].to=y;
    edge[cnt].next=head[x];
    head[x]=cnt;
}

void add_(int x,int y) {
    edge_[++cnt].to=y;
    edge_[cnt].next=head_[x];
    head_[x]=cnt;
}

int find(int x) {
    return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);
}

void tarjan(int u,int pre) {
    vis[u]=1;
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].next) {
        int v=edge[i].to;
        if(v!=pre) {
            tarjan(v,u);
            int a=find(v),b=find(u);
            f[a]=b;
        }   
    }
    for(int i=head_[u];i;i=edge_[i].next) {
        int v=edge_[i].to;
        if(vis[v]) 
            ans[(i+1)/2]=find(v);
    }
}

int main() {
    scanf("%d %d %d",&n,&qu,&root);
    for(int i=1;i<n;i++) {
        f[i]=i;
        int a,b;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        add(a,b);
        add(b,a);
    }
    f[n]=n;
    cnt=0;
    for(int i=1;i<=qu;i++) {
        int a,b;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        add_(a,b);
        add_(b,a);
    }
    tarjan(root,-1);
    for(int i=1;i<=qu;i++) 
        printf("%d
",ans[i]);
    return 0;
}