题目大意
有 (M) 个球，一开始每个球均有一个初始标号，标号范围为 (1) ～ (N) 且为整数，标号为 (i) 的球有 (a_i) 个，并保证 (sum a_i = M)。
每次操作等概率取出一个球（即取出每个球的概率均为 (1over M)），若这个球标号为 (k (k < N))，则将它重新标号为 (k+1)；若这个球标号为 (N)，则将其重标号为 (1)。（取出球后并不将其丢弃）
现在你需要求出，经过 (K) 次这样的操作后，每个标号的球的期望个数。
数据范围
(N ≤ 1000, M ≤ 100,000,000, K ≤ 2,147,483,647)。
思路
第一次见到循环矩阵优化 dp 的套路，记录一下。
转移方程很好得到，设 (f[i][j]) 表示到第 (i) 轮 (j) 编号的球的期望个数，转移方程就是
[f[i][j]=cfrac{m-1}{m} f[i-1][j]+cfrac{1}{m} f[i-1][j-1] (2leq jleq n)
]
[f[i][1]=cfrac{m-1}{m} f[i-1][1]+cfrac{1}{m} f[i-1][n]
]
通过 (K) 的范围的提示，我们冲一个矩阵快速幂即可，时间效率 (O(n^3log K))
(nleq 1000)
那没事了。
假设 (n=4)，我们构造出转移矩阵：
[ left[
egin{matrix}
f[i-1][1] & f[i-1][2] & f[i-1][3] & f[i-1][4]
end{matrix}
ight]
imes
left[
egin{matrix}
cfrac{m-1}{m} & cfrac{1}{m} & 0 & 0 \
0 & cfrac{m-1}{m} & cfrac{1}{m} & 0 \
0 & 0 & cfrac{m-1}{m} & cfrac{1}{m} \
cfrac{1}{m} & 0 & 0 & cfrac{m-1}{m}
end{matrix}
ight]
=
left[
egin{matrix}
f[i][1] & f[i][2] & f[i][3] & f[i][4]
end{matrix}
ight]
]
我们发现转移矩阵是一个循环矩阵。
那么这个矩阵满足什么性质呢？
我们设第一排的第 (i) 个数为 (k[i])，我们以 (k[1]) 为例：
[k[1]=a[1][1] imes a[1][1]+a[1][2] imes a[2][1]+a[1][3] imes a[3][1]+a[1][4] imes a[4][1]
]
我们将其对应到第一行的元素，得到：
[k[1]=k[1] imes k[1]+k[2] imes k[4]+k[3] imes k[3]+k[4] imes k[2]
]
很容易看出性质：
[k[t]=sumlimits_{((i+j-2) ext{mod} n)+1=t}k[i] imes k[j]
]
所以我们只需要记录第一行的状态，用 (O(n^2log K))转移即可。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1000+10;
int n,m,K;
struct Mat{
double a[maxn];
Mat(){
memset(a,0,sizeof(a));
}
friend inline Mat operator *(register const Mat& A,register const Mat& B){
Mat C;
for(register int i=1;i<=n;i++)
for(register int j=1;j<=n;j++)
C.a[(i+j-2)%n+1]+=A.a[i]*B.a[j];
return C;
}
}ans,base;
inline int read(){
int x=0;bool fopt=1;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')fopt=0;
for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;
return fopt?x:-x;
}
inline void qpow(int b){
while(b){
if(b&1)ans=ans*base;
base=base*base;
b>>=1;
}
}
int main(){
n=read();m=read();K=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
ans.a[i]=read();
base.a[1]=1.0*(m-1)/m;
base.a[2]=1.0/m;
qpow(K);
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%.3lf
",ans.a[i]);
return 0;
}