多项式回归学习笔记

操作系统 ： CentOS7.3.1611_x64

python版本：2.7.5

sklearn版本：0.18.2

tensorflow版本 ：1.2.1

多项式的定义及展现形式

多项式（Polynomial）是代数学中的基础概念，是由称为不定元的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。

多项式分为一元多项式和多元多项式，其中：

不定元只有一个的多项式称为一元多项式；

不定元不止一个的多项式称为多元多项式。

 本文讨论的是一元多项式相关问题。

其一般形式如下（python语法表达方式）：

y = a0 + a1 * x + a2 * (x**2) + ... + an * (x ** n) + e

比如普通的二次多项式回归模型如下（python语法表达方式）：

y = a0 + a1 * x + a2 * (x**2) + e

当 a0,a1,a2,e = 10,2,-0.03,0.5 时，大致图形如下：

源码如下：

#! /usr/bin/env python
#-*- coding:utf-8 -*-
import pylab
import pandas as pd

def fun(x):
    # y = a0 + a1 * x + a2 * (x**2) + e
    a0,a1,a2,e = 10,2,-0.03,0.5
    y = a0 + a1 * x + a2 * (x**2) + e
    return y

arrX = range(-10000,10000)
arrY = []

for x in arrX :
    arrY.append(fun(x))

pylab.plot(arrX,arrY)
pylab.show()

普通的三次多项式回归模型如下（python语法表达方式）：

y = a0 + a1 * x + a2 * (x**2) + a3 * (x**3) + e

当 a0,a1,a2,a3,e = 10,-0.2,-0.03,-0.04,0.5 时，大致图形如下：

源码如下：

#! /usr/bin/env python
#-*- coding:utf-8 -*-
import pylab
import pandas as pd

def fun(x):
    # y = a0 + a1 * x + a2 * (x**2) + a3 * (x**3)+ e
    a0,a1,a2,a3,e = 10,-0.2,-0.03,-0.04,0.5
    y = a0 + a1 * x + a2 * (x**2) + a3 * (x**3)+ e
    return y

arrX = range(-10000,10000)
arrY = []

for x in arrX :
    arrY.append(fun(x))

pylab.plot(arrX,arrY)
pylab.show()

多项式回归

在单因子（连续变量）试验中，当回归函数不能用直线来描述时，要考虑用非线性回归函数。 多项式回归属于非线性回归的一种。 这里指单因子多项式回归，即一元多项式回归。

一般非线性回归函数是未知的，或即使已知也未必可以用一个简单的函数变换转化为线性模型。这时，常用的做法是用因子的多项式。 如果从散点图观察到回归函数有一个“弯”，则可考虑用二次多项式；有两个弯则考虑用三次多项式；有三个弯则考虑用四次多项式，等等。

真实的回归函数未必就是某个次数的多项式，但只要拟合得好，用适当的多项式来近似真实的回归函数是可行的。

使用sklearn解决多项式回归问题

示例代码如下：

#! /usr/bin/env python
#-*- coding:utf-8 -*-
# 多项式回归
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures

rng = np.random.RandomState(1)

def fun(x):
    a0,a1,a2,a3,e = 0.1,-0.02,0.03,-0.04,0.05
    y = a0 + a1 * x + a2 * (x**2) + a3 * (x**3)+ e
    y += 0.03 * rng.rand(1)
    return y

plt.figure()
plt.title('polynomial regression(sklearn)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)

X = np.linspace(-1, 1, 30)
arrY = [fun(x) for x in X]
X = X.reshape(-1,1)
y = np.array(arrY).reshape(-1,1)

plt.plot(X, y, 'k.')

qf = PolynomialFeatures(degree=3)
qModel = LinearRegression()
qModel.fit(qf.fit_transform(X), y)

X_predict = np.linspace(-1, 2, 100)
X_predict_result = qModel.predict(qf.transform(X_predict.reshape(X_predict.shape[0], 1)))
plt.plot(X_predict,X_predict_result , 'r-')

plt.show()

该代码github地址：https://github.com/mike-zhang/pyExamples/blob/master/algorithm/NonLinearRegression/pr_sklearn_test1.py

运行效果图如下：

使用tensorflow解决多项式回归问题

示例代码如下：

#! /usr/bin/env python
#-*- coding:utf-8 -*-

import tensorflow as tf
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

learning_rate = 0.01
training_epochs = 40
rng = np.random.RandomState(1)

def fun(x):
    a0,a1,a2,a3,e = 0.1,-0.02,0.03,-0.04,0.05
    y = a0 + a1 * x + a2 * (x**2) + a3 * (x**3)+ e
    y += 0.03 * rng.rand(1)
    return y


trX = np.linspace(-1, 1, 30)
arrY = [fun(x) for x in trX]
num_coeffs = 4
trY = np.array(arrY).reshape(-1,1)

X = tf.placeholder("float")
Y = tf.placeholder("float")

def model(X, w):
    terms = []
    for i in range(num_coeffs):
        term = tf.multiply(w[i], tf.pow(X, i))
        terms.append(term)
    return tf.add_n(terms)

w = tf.Variable([0.] * num_coeffs, name="parameters")
y_model = model(X, w)

cost = tf.reduce_sum(tf.square(Y-y_model))
train_op = tf.train.GradientDescentOptimizer(learning_rate).minimize(cost)

with tf.Session() as sess :
    init = tf.global_variables_initializer()
    sess.run(init)

    for epoch in range(training_epochs):
        for (x, y) in zip(trX, trY):
            sess.run(train_op, feed_dict={X: x, Y: y})

    w_val = sess.run(w)
    print(w_val)

plt.figure()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)
plt.title('polynomial regression(tensorflow)')
plt.scatter(trX, trY)
trX2 = np.linspace(-1, 2, 100)
trY2 = 0
for i in range(num_coeffs):
    trY2 += w_val[i] * np.power(trX2, i)
plt.plot(trX2, trY2, 'r-')
plt.show()

该代码github地址：https://github.com/mike-zhang/pyExamples/blob/master/algorithm/NonLinearRegression/pr_tensorflow_test1.py

运行效果如下：

好，就这些了，希望对你有帮助。

本文github地址：

https://github.com/mike-zhang/mikeBlogEssays/blob/master/2017/20170804_多项式回归学习笔记.rst

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