题意：简单来说就是， 现在有 n个点， m条边， 每次询问一个区间[ l , r ]， 将这个区间的所有边都连上， 如果现在的图中有奇数环， 就输出 “Impossible”， 否者就输出 ”possible“。
题解：
步骤1：我们先找出每个最小的 [ l, r] 当这个区间的边都出现后， 就会出现一个奇数环。
步骤2：问题就变成了对于一次询问 [ L, R ] 是否存在上面的一个区间 被完全覆盖。
对于步骤1来说：需要加边和删边， 我们用 lct 维护。
我们按照 1 ... m 的顺序， 进行添加边。
如果 u 和 v 不联通， 那么我们直接将u和v连起来。
如果 u 和 v 联通， 那么如果我们加上这个边之后就会形成环。
如果是偶数环， 那么我们就删除这个环上最先添加进来的边， 因为我们需要找到最小的[l, r]奇数环区间。
如果是奇数环， 那么说明我们已经找到了一个奇数环区间， 因为有偶数环删除的保证， 所以我们找到的一定是最小的奇数环区间。
然后我们再删除边，将 l+1前面的边都删除， 继续往下找下一个最小奇数环区间。
对于步骤2来说：
我们可以离线所有询问。
对于所有的最小奇数环区间和询问区间都按照左端点大的排序。
当询问区间的 左端点的位置 <= 当前奇数环区间的时候，就在标记一下奇数环区间的右端， 用树状数组维护。
然后查询询问区间的右端点之前有没有点出现过， 如果有就说明有区间被完全覆盖。
因为添加到树状数组里面的 奇数环区间 的左端点一定是 大或等于 当前区间左端点的。
最后输出答案。
代码：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define Fopen freopen("2.in","r",stdin); freopen("_out.txt","w",stdout); 4 #define LL long long 5 #define ULL unsigned LL 6 #define fi first 7 #define se second 8 #define pb push_back 9 #define lson l,m,rt<<1 10 #define rson m+1,r,rt<<1|1 11 #define lch(x) tr[x].son[0] 12 #define rch(x) tr[x].son[1] 13 #define max3(a,b,c) max(a,max(b,c)) 14 #define min3(a,b,c) min(a,min(b,c)) 15 typedef pair<int,int> pll; 16 const int inf = 0x3f3f3f3f; 17 const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; 18 const LL mod = (int)1e9+7; 19 const int N = 2e5 + 100; 20 struct Node{ 21 int rev, rt; 22 int son[2], pre; 23 int id, mn, sz; 24 void init(int t){ 25 sz = rt = 1; 26 rev = pre = son[0] = son[1] = 0; 27 id = mn = t; 28 } 29 }tr[N]; 30 void Push_Rev(int x){ 31 if(!x) return ; 32 swap(lch(x), rch(x)); 33 tr[x].rev ^= 1; 34 } 35 void Push_Up(int x){ 36 if(!x) return ; 37 tr[x].sz = tr[lch(x)].sz + tr[rch(x)].sz + 1; 38 tr[x].mn = min3(tr[lch(x)].mn, tr[rch(x)].mn, tr[x].id); 39 } 40 void Push_Down(int x){ 41 if(tr[x].rev){ 42 tr[x].rev = 0; 43 Push_Rev(lch(x)); 44 Push_Rev(rch(x)); 45 } 46 } 47 void Rev(int x){ 48 if(!tr[x].rt) Rev(tr[x].pre); 49 Push_Down(x); 50 } 51 void rotate(int x){ 52 if(tr[x].rt) return; 53 int y = tr[x].pre, z = tr[y].pre; 54 int k = (rch(y) == x); 55 tr[y].son[k] = tr[x].son[k^1]; 56 tr[tr[y].son[k]].pre = y; 57 tr[x].son[k^1] = y; 58 tr[y].pre = x; 59 tr[x].pre = z; 60 if(tr[y].rt) tr[y].rt = 0, tr[x].rt = 1; 61 else tr[z].son[rch(z) == y] = x; 62 Push_Up(y); 63 } 64 void Splay(int x){ 65 Rev(x); 66 while(!tr[x].rt){ 67 int y = tr[x].pre, z = tr[y].pre; 68 if(!tr[y].rt){ 69 if(( x == rch(y) ) != (y == rch(z))) rotate(y); 70 else rotate(x); 71 } 72 rotate(x); 73 } 74 Push_Up(x); 75 } 76 void Access(int x){ 77 int y = 0; 78 do{ 79 Splay(x); 80 tr[rch(x)].rt = 1; 81 rch(x) = y; 82 tr[y].rt = 0; 83 Push_Up(x); 84 y = x; 85 x = tr[x].pre; 86 }while(x); 87 } 88 void Make_rt(int x){ 89 Access(x); 90 Splay(x); 91 Push_Rev(x); 92 } 93 void link(int u, int v){ 94 Make_rt(u); 95 tr[u].pre = v; 96 } 97 void cut(int u, int v){ 98 Make_rt(u); 99 Access(v); 100 Splay(v); 101 tr[lch(v)].pre = 0; 102 tr[lch(v)].rt = 1; 103 tr[v].pre = 0; 104 lch(v) = 0; 105 } 106 bool judge(int u, int v){ 107 while(tr[u].pre) u = tr[u].pre; 108 while(tr[v].pre) v = tr[v].pre; 109 return u == v; 110 } 111 int x[N], y[N]; 112 int l[N], r[N]; 113 int in[N]; 114 int ans[N]; 115 int tot = 0; 116 int n, m, q; 117 struct node{ 118 int l, r, id; 119 bool operator < (const node & x) const { 120 return l > x.l; 121 } 122 }A[N]; 123 void solve(int st, int ed){ 124 for(int i = st; i <= ed; i++){ 125 if(!in[i]) continue; 126 cut(x[i], i+n); 127 cut(y[i], i+n); 128 in[i] = 0; 129 } 130 } 131 int tree[N]; 132 inline int lowbit(int x){ 133 return x & (-x); 134 } 135 int Query(int x){ 136 int ret = 0; 137 while(x){ 138 ret += tree[x]; 139 x -= lowbit(x); 140 } 141 return ret; 142 } 143 void Add(int x){ 144 while(x <= m){ 145 tree[x]++; 146 x += lowbit(x); 147 } 148 } 149 int main(){ 150 scanf("%d%d%d", &n, &m, &q); 151 for(int i = 1; i <= n; i++) tr[i].init(inf); 152 tr[0].mn = tr[0].id = inf; 153 for(int i = 1; i <= m; i++){ 154 scanf("%d%d", &x[i], &y[i]); 155 tr[i+n].init(i+n); 156 } 157 int b = 1; 158 for(int i = 1; i <= m; i++){ 159 int u = x[i], v = y[i], id = n+i; 160 if(!judge(u, v)){ 161 link(u, id); 162 link(v, id); 163 in[i] = 1; 164 } 165 else { 166 Make_rt(u); 167 Access(v); 168 Splay(v); 169 int sz = tr[v].sz/2; 170 int t = tr[v].mn; 171 if(sz&1) { 172 cut(u, t); 173 cut(v, t); 174 in[t-n] = 0; 175 } 176 else { 177 l[++tot] = t-n; r[tot] = i; 178 solve(b, t-n); 179 b = t-n; 180 } 181 link(u, id); 182 link(v, id); 183 in[i] = 1; 184 } 185 } 186 for(int i = 1; i <= q; i++){ 187 scanf("%d%d", &A[i].l, &A[i].r); 188 A[i].id = i; 189 } 190 sort(A+1, A+1+q); 191 for(int i = 1; i <= q; i++){ 192 int ll = A[i].l, rr = A[i].r, id = A[i].id; 193 while(tot && ll <= l[tot]){ 194 Add(r[tot]); 195 tot--; 196 } 197 if(Query(rr)) ans[id] = 1; 198 } 199 for(int i = 1; i <= q; i++){ 200 if(ans[i]) puts("Impossible"); 201 else puts("Possible"); 202 } 203 return 0; 204 }
因为一直在实验室问步骤2的问题， 又听到一个别的思路。
因为我们保证了最小奇数环区间是没有覆盖情况的， 我们按照左端点小的排序。
对于每次询问我们找到第一段左端点大于询问区间的左端点的区间， 然后判断一下右端点是不是在这个区间里面就好了。
代码：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define Fopen freopen("2.in","r",stdin); freopen("_out.txt","w",stdout); 4 #define LL long long 5 #define ULL unsigned LL 6 #define fi first 7 #define se second 8 #define pb push_back 9 #define lson l,m,rt<<1 10 #define rson m+1,r,rt<<1|1 11 #define lch(x) tr[x].son[0] 12 #define rch(x) tr[x].son[1] 13 #define max3(a,b,c) max(a,max(b,c)) 14 #define min3(a,b,c) min(a,min(b,c)) 15 typedef pair<int,int> pll; 16 const int inf = 0x3f3f3f3f; 17 const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; 18 const LL mod = (int)1e9+7; 19 const int N = 2e5 + 100; 20 struct Node{ 21 int rev, rt; 22 int son[2], pre; 23 int id, mn, sz; 24 void init(int t){ 25 sz = rt = 1; 26 rev = pre = son[0] = son[1] = 0; 27 id = mn = t; 28 } 29 }tr[N]; 30 void Push_Rev(int x){ 31 if(!x) return ; 32 swap(lch(x), rch(x)); 33 tr[x].rev ^= 1; 34 } 35 void Push_Up(int x){ 36 if(!x) return ; 37 tr[x].sz = tr[lch(x)].sz + tr[rch(x)].sz + 1; 38 tr[x].mn = min3(tr[lch(x)].mn, tr[rch(x)].mn, tr[x].id); 39 } 40 void Push_Down(int x){ 41 if(tr[x].rev){ 42 tr[x].rev = 0; 43 Push_Rev(lch(x)); 44 Push_Rev(rch(x)); 45 } 46 } 47 void Rev(int x){ 48 if(!tr[x].rt) Rev(tr[x].pre); 49 Push_Down(x); 50 } 51 void rotate(int x){ 52 if(tr[x].rt) return; 53 int y = tr[x].pre, z = tr[y].pre; 54 int k = (rch(y) == x); 55 tr[y].son[k] = tr[x].son[k^1]; 56 tr[tr[y].son[k]].pre = y; 57 tr[x].son[k^1] = y; 58 tr[y].pre = x; 59 tr[x].pre = z; 60 if(tr[y].rt) tr[y].rt = 0, tr[x].rt = 1; 61 else tr[z].son[rch(z) == y] = x; 62 Push_Up(y); 63 } 64 void Splay(int x){ 65 Rev(x); 66 while(!tr[x].rt){ 67 int y = tr[x].pre, z = tr[y].pre; 68 if(!tr[y].rt){ 69 if(( x == rch(y) ) != (y == rch(z))) rotate(y); 70 else rotate(x); 71 } 72 rotate(x); 73 } 74 Push_Up(x); 75 } 76 void Access(int x){ 77 int y = 0; 78 do{ 79 Splay(x); 80 tr[rch(x)].rt = 1; 81 rch(x) = y; 82 tr[y].rt = 0; 83 Push_Up(x); 84 y = x; 85 x = tr[x].pre; 86 }while(x); 87 } 88 void Make_rt(int x){ 89 Access(x); 90 Splay(x); 91 Push_Rev(x); 92 } 93 void link(int u, int v){ 94 Make_rt(u); 95 tr[u].pre = v; 96 } 97 void cut(int u, int v){ 98 Make_rt(u); 99 Access(v); 100 Splay(v); 101 tr[lch(v)].pre = 0; 102 tr[lch(v)].rt = 1; 103 tr[v].pre = 0; 104 lch(v) = 0; 105 } 106 bool judge(int u, int v){ 107 while(tr[u].pre) u = tr[u].pre; 108 while(tr[v].pre) v = tr[v].pre; 109 return u == v; 110 } 111 int x[N], y[N]; 112 int in[N]; 113 int ans[N]; 114 int tot = 0; 115 pll P[N]; 116 int n, m, q; 117 void solve(int st, int ed){ 118 for(int i = st; i <= ed; i++){ 119 if(!in[i]) continue; 120 cut(x[i], i+n); 121 cut(y[i], i+n); 122 in[i] = 0; 123 } 124 } 125 int main(){ 126 scanf("%d%d%d", &n, &m, &q); 127 for(int i = 1; i <= n; i++) tr[i].init(inf); 128 tr[0].mn = tr[0].id = inf; 129 for(int i = 1; i <= m; i++){ 130 scanf("%d%d", &x[i], &y[i]); 131 tr[i+n].init(i+n); 132 } 133 int b = 1; 134 for(int i = 1; i <= m; i++){ 135 int u = x[i], v = y[i], id = n+i; 136 if(!judge(u, v)){ 137 link(u, id); 138 link(v, id); 139 in[i] = 1; 140 } 141 else { 142 Make_rt(u); 143 Access(v); 144 Splay(v); 145 int sz = tr[v].sz/2; 146 int t = tr[v].mn; 147 if(sz&1) { 148 cut(u, t); 149 cut(v, t); 150 in[t-n] = 0; 151 } 152 else { 153 P[tot].fi = t-n; P[tot++].se = i; 154 155 solve(b, t-n); 156 b = t-n; 157 } 158 link(u, id); 159 link(v, id); 160 in[i] = 1; 161 } 162 } 163 int l, r; 164 for(int i = 1; i <= q; i++){ 165 scanf("%d%d", &l, &r); 166 int p = upper_bound(P, P+tot, pll(l,-1)) - P; 167 if(p == tot || r < P[p].se) puts("Possible"); 168 else puts("Impossible"); 169 } 170 return 0; 171 }