「中山纪中集训省选组D2T1」书堆 欧拉常数

题目描述

蚂蚁是勤劳的动物，他们喜欢挑战极限。现在他们迎来了一个难题！蚂蚁居住在图书馆里，图书馆里有大量的书籍。书是形状大小质量都一样的矩形。蚂蚁要把这些书摆在水平桌子的边缘。蚂蚁喜欢整洁的布置，所以蚂蚁规定书本必须水平摆放，宽必须平行于桌缘（如图），而且不允许同一高度摆多本书。

蚂蚁想要让书本伸出桌子边缘尽量远，同时不让书因为重力垮下来。它们已经用不知道什么方法测出了书的长度(M)（如图）。如果总共有(N)本书，请你帮忙计算如何摆放使得最多水平伸出桌缘多远。你不用考虑蚂蚁用什么方法搭建这堆书。
如果某本书以上的所有书的重心的竖直射影不在这本书上，或者正好落在在这本书的边界上，那么这堆书是不稳定的，会因为重力而垮下来。

注意：
不考虑地球自转，重力系数也不因高度改变；
书是质量均匀，质地坚硬的理想二维物体；
在不会垮的前提下，每本书的位置坐标可以是任意实数。

输入格式

输入文件仅含一行，两个正整数(N)和(M)，表示书本数和书本长度。

输出格式

输出仅包含一行，整数(L)，表示水平延伸最远的整数距离 (不大于答案的最大整数，详见样例)

样例

样例输入1

1 100

样例输出1

49

样例输出1

2 100

样例输出2

74

数据范围

(10\%)的数据中(Nleq5)；
(20\%)的数据中(Nleq10^3)；
(40\%)的数据中(Nleq10^7)；
(100\%)的数据中(Nleq10^{18})；答案(leq10^6)。

题解

设(f_i)表示(i)本书达到最大位置时最下方的书与最上方的书的中点的距离。显然，(f_1=0)。
那么先考虑怎么通过(f)的前(i)个值计算出(f_{i+1})。
记(f)的前缀和为(g)，那么前(i)本书的总重心与最上方的书的中点的距离是(frac{g_i}{i})。而要保证伸出的距离最长，显然应该让上面(i)本书的总重心落在第(i+1)本书的边缘上。这样就会发现，(f_{i+1}=frac{g_i}{i}+frac{M}{2})。这样，我们就可以递推计算答案了。
但是，(N)是(10^{18})级别的，这样的递推公式没法满足我们，我们首先得将(g)消去。
考虑到(g_i=g_{i-1}+f_i)，(f_i=frac{g_{i-1}}{i-1}+frac{M}{2})，将他们代入上式。

[f_{i+1}=frac{g_{i-1}+frac{g_{i-1}}{i-1}+frac{M}{2}}{i}+frac{M}{2}=frac{frac{icdot g_{i-1}}{i-1}+frac{M}{2}}{i}+frac{M}{2}=frac{g_{i-1}}{i-1}+frac{M}{2}+frac{M}{2i}=f_i+frac{M}{2i} ]

这样，我们就有了用(f_i)求(f_{i+1})的方法，也就知道了(f_i=sum_{k=1}^{i-1}frac{M}{2k})，而我们要求的(N)本书的最长延伸距离恰好就等于(f_{N+1})，也就是(Mcdotsum_{i=1}^{N}frac{1}{2i})。我们只需要快速求出正整数的倒数和，就可以快速计算(f)了。

至于如何求正整数的倒数和呢？当(Nleq10^7)时，我们可以(O(N))暴力求解，然而(N)更大的话就会超时。但同时我们可以注意到，答案不超过(10^6)，相当于我们只要求出答案的前(6)位有效数字即可，于是我们可以借助欧拉常数计算，如下：

[gamma=lim_{n oinfty}sum_{i=1}^{n}frac{1}{i}-ln(n) ]

于是当(N)很大时，我们可以用(ln(N))和(gamma)相加求出正整数的倒数和的近似值。至于(gamma)具体是多少，可以通过暴力计算(sum_{i=1}^{10^9}frac{1}{i})与(ln(10^9))的差得出近似值，大约是(0.57721566)。

吐槽：这题不知道欧拉常数就做不了啊（虽然欧拉常数基本可以当成一个常识了）……不知道的人就算推出倒数和的形式也搞不出来啊……

(Code:)

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
ll n;
int m;
int main()
{
	scanf("%lld%d", &n, &m);
	if (n <= 10000000)
	{
		long double ans = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			ans += 1 / (long double)i;
		ans /= 2;
		printf("%d
", int(ans * m - 1e-6));
	}
	else
	{
		long double ans = (log(n) + 0.57721566) / 2;
		printf("%d
", int(ans * m - 1e-6));
	}
}