三元组

也许更好的阅读体验
(mathcal{Description})

给定 (n,k),对于一 个三元组((a, b, c)),若合法则需要满足(1 ≤ a, b, c ≤ n),且两两元素之和均为(k)的倍数。
求不同的合法的三元组有多少个。
三元组的相应的任意一 位不同则认为他们不同。
(mathcal{Solution})

设 (a=x_1k,b=x_2k,c=x_3k)
(x1,x2,x3in [0,n/k]) (包括小数)
则有
(a+b=(x_1+x_2)k)
(b+c=(x_2+x_3)k)
(a+c=(x_1+x_3)k)
即
(x_1+x_2in Z)
(x_2+x_3in Z)
(x_1+x_3in Z)
所以可以知道

• 若(x1,x2,x3in Z)
  则(x1,x2,x3)有(n/k)种选择
  • 当三个数字全部不相同　有(C_{n/k}^3)种搭配，每种搭配有６种排列方式
  • 当三个数字有两个相同　有(C_{n/k}^2)种搭配，每种搭配有６种排列方式
  • 当三个数字全部都相同　有(n/k)种搭配，每种搭配有１种排列方式
• 若(x1,x2,x3∉ Z)
  又(ecause x1,x2,x3)两两相加为整数
  (∴x1,x2,x3=ik+frac{k}{2},iin Z)
  此时条件(k\%2==0)
  则(x1,x2,x3)有(n/frac{k}{2}-n/k)种选择
  接下来的计算同上

代码

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年06月13日 星期四 08时19分25秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
#define ll long long
using namespace std;
int n,k,tim,hal;
ll ans;
ll C3 (int n) { return 1ll*n*(n-1)/2*(n-2)/3; }
ll C2 (int n) { return 1ll*n*(n-1)/2; }
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&k);
	tim=n/k;
	if ((k-1)&1){
		hal=n/(k/2)-tim;
		ans+=6*C3(hal)+6*C2(hal)+hal;
	}
	ans+=6*C3(tim)+6*C2(tim)+tim;
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}