收集邮票

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(mathcal{Description})

有(n)种邮票，每天等概率的买一张邮票，第(i)天购买要花费(i)元，求收集(n)种邮票的期望花费

(mathcal{Solution})

先设(f[i])表示买到(i)种邮票后，离买到(n)种邮票的期望还差天数
和最上面那题一样的处理方法
考虑当前买了(i)张邮票，再买一张邮票，有两种情况

1. 有(frac{i}{n})的概率买到重复的邮票，此时仍只买到(i)张邮票
2. 有(frac{n-i}{n})的概率买到没买过的邮票，此后就已买到(i+1)张邮票

需要注意的是，无论哪种情况，都过了一天
所以有
(f[i]=frac{i}{n}f[i]+frac{n-i}{n}f[i+1]+1)
将其化简
(f[i]=f[i+1]+frac{n}{n-i})

初值(f[n]=0)，答案为(f[0])
应逆向循环

当然这只是期望天数，不是期望花费
设(g[i])表示 拥有(不是买)(i)种邮票， 买到(n)种邮票的期望花费
考虑当前拥有了(i)张邮票，买一张邮票，有两种情况

1. 有(frac{i}{n})的概率买到重复的邮票，此时仍只拥有(i)种
2. 有(frac{n-i}{n})的概率买到没买过的邮票，此后就已拥有(i+1)张邮票

需要注意的是，无论哪种情况，都买了一张邮票
此时我们不知道每张邮票多少钱
但我们知道每张邮票和过了多少天有关
这次的注意写在前面，我们是认为有了(i)张邮票后才开始，所以第一天邮票价格为(1)元
为什么这么设？
我们不知道也不好处理出前面买了多少张邮票，再买到一张邮票要多少钱
但是我们知道第一天肯定是只要(1)元的，答案为(g[0])，中间的过程不重要，只需推出最终答案
我们借助初始状态的这条非常有用的性质于是就设出了这样的(g)
这样我们可以知道

1. 若买到重复的邮票，我们知道，因为是设当前是第一天，所以原本希望买到的邮票的天数又往后推了一天，所以总价格要多(f[i])元，还要加上自己的(1)元
2. 若买到没买过的邮票，同理，因为后面的(g[i+1])也是从第(1)天开始考虑的，所以原本希望买到的邮票数也往后推了一天，所以价格要多(f[i+1])元，还要加上自己的(1)元

所以有

1. (g[i]+=frac{i}{n}(g[i]+f[i]+1))
2. (g[i]+=frac{n-i}{n}(g[i+1]+f[i+1]+1))

总写下来就是(g[i]=frac{i}{n}(g[i]+f[i]+1)+frac{n-i}{n}(g[i+1]+f[i+1]+1))

将其化简得到
(g[i]=frac{i}{n-i}f[i]+g[i+1]+f[i+1]+frac{n}{n-i})

初值(g[n]=0)，答案为(g[0])
应逆向循环

---

(mathcal{Code})

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年07月22日 星期一 16时43分11秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 10004;
//{{{cin
struct IO{
	template<typename T>
	IO & operator>>(T&res){
		res=0;
		bool flag=false;
		char ch;
		while((ch=getchar())>'9'||ch<'0')	 flag|=ch=='-';
		while(ch>='0'&&ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
		if (flag)	 res=~res+1;
		return *this;
	}
}cin;
//}}}
int n;
double f[maxn],g[maxn];
//f[i] -> 买到i种邮票后，离买到n种邮票的期望还差天数
//g[i] -> 拥有(不是买)i种邮票， 买到n种邮票的期望花费
int main()
{
	cin>>n;
	f[n]=0,g[n]=0;
	for (int i=n-1;i>=0;--i)	f[i]=f[i+1]+1.0*n/(n-i);
	for (int i=n-1;i>=0;--i)	g[i]=1.0*i/(n-i)*f[i]+g[i+1]+f[i+1]+1.0*n/(n-i);
	printf("%.2lf
",g[0]);
	return 0;
}


``

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