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Stoer-Wagner算法

求无向图全局最小割的一种算法。设一张图((V,E))的点集为(V)，边集为(E)。我们说集合(C)是图((V,E))的割，当且仅当(Cin E)且存在(V)的一个划分(S)和(T)，使得((u,v)in Ciff uin Sland vin T)，一个割的权值(w_C)就是割中边权的和。

考虑一个事实：对于任意两点(s,tin V)，在一个割中(s,t)或在同一划分内，或在不同划分内。那么可以先考虑计算(s-t)割，再将(s,t)两点合并（(s,t)之间的边消去，连向其它点的边合并）并递归计算即可。

而Stoer-Wagner算法将告诉我们，总存在一对点(s,t)使得(s-t)最小割就是将(t)的所有边割除的情况。

考虑这样找到满足要求的(s,t)：设一个点集(V'in V)，初始情况下(V')为空。对于不在(V')中的点(u)，定义其权值为(w_{V',u}=sum_{vin V'}w_{(u,v)})。如果每次选择(w_u)最大的(u)加入(V')（相同则随意），那么最后两个加入的点就是(s)和(t)（(t)为最后一个点）。

证明：只要证对于任意一种(s-t)割(C)，都有(w_Cgeq w_{{Vsetminus {t}},t})即可。令(id_{a_k}=k)，(C_k={(u,v)in C|id_uleq k, id_vleq k})，(V_k={a_1,a_2,dots,a_k})。将所有点按照加入(V')的顺序排成一个列({a_n})，对于任意一种(s-t)割(C)，设其对应的分划为(S,T)，我们称满足(n>1land [a_{n-1}in S] eq[a_nin S])，即与前一个点不在一个分划内的点为活跃点，显然(t)为活跃点。对于任意一个活跃点(v)，我们证明(w_{C_{id_v}}geq w_{V_{id_v},v})即可。

采用归纳法，对于第一个活跃点(v)，不难发现(w_{C_{id_v}}=w_{V_{id_v},v})，对于之后任意活跃点(v)，设其前一个活跃点为(u)，将(C_{id_v})中的边分为三部分：(C_{id_u})，(u,v)之间的点与(v)的连边(设这个集合为(A))，其他边。那么有：

[w_{V_{id_v},v}=w_{V_{id_u},v}+w_Aleq w_{V_{id_u},u}+w_Aleq w_{C_{id_u}}+w_Aleq w_{C_{id_v}} ]

于是结论成立。

扩展中国剩余定理

显然只需要考虑合并两个同余方程的情况：

[xequiv a_1(mod b_1) ]

[xequiv a_2(mod b_2) ]

第一个方程的通解为(x=a_1+k*b_1,kin mathbb{Z})，代入第二个方程即有(a_1+k*b_1equiv a_2(mod b_2))，改写为(k_1*b_1+k_2*b_2=a_2-a_1)，利用扩展欧几里得求解即可。